Суворов Михаил, ученик 10 класс

Данная работа посвящена описанию взглядов древнегреческого философа Платона на строение Вселенной, через использование правильных многоугольников, таких как тетраэдр, октаэдр, гексаэдр (куб), додекаэдр и икосаэдр. В современной математике эти тела получили название Платоновых.

Также в работе находит отражение вопрос о том, как используются в современных естественнонаучных теориях Платоновы тела.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Исследовательская работа по геометрии. Тема: «Платоновы тела» Подготовили презентацию: суворовец Суворов Михаил Преподаватель математики Харькова Марина Валерьевна

Платон (427–347 до н.э.) – великий древнегреческий философ, ученик Сократа, основатель Академии. Главная заслуга Платона в истории математики заключается в том, что он признавал, что знание математики необходимо каждому образованному человеку. Вклад Платона в математику незначителен. Однако его идеи относительно структуры и методов математики чрезвычайно ценны. Он ввел традицию давать безукоризненные определения и определять, какие положения в математических соображениях можно принимать без доказательства. Платон первым обосновал метод доказательства от противного, который теперь широко применяется в геометрии. В школе Платона особое внимание уделялось решению задач на построение. Благодарю этому в ней сформировалось понятие о геометрическом месте точек, а также была разработана методика решения задач на построение. Выпуклые правильные многогранники - тетраэдр, октаэдр, гексаэдр (куб), додекаэдр и икосаэдр - принято называть Платоновыми телами.

Определение: ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА- от греч. Platon 427-347 гг. до н.э. – совокупность всех правильных многогранников [ т. е. объёмных тел, ограниченных равными правильными многоугольниками ] трёхмерного Мира, впервые описанных Платоном.

Правильным многоугольником называется: ограниченная прямыми плоская фигура с равными сторонами и равными внутренними углами. Аналогом правильного многоугольника в трехмерном пространстве служит правильный многогранник: пространственная фигура с одинаковыми гранями, имеющими форму правильных многоугольников, и одинаковыми многогранными углами при вершинах. Существует лишь пять правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

История создания Платоновых тел. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии». Тетраэдр символизировал Огонь, так как его вершина устремлена вверх; Икосаэдр - Воду, так как он самый «обтекаемый» многогранник; Куб - Землю, как самый «устойчивый» многогранник; Октаэдр - Воздух, как самый «воздушный» многогранник. Пятый многогранник, Додекаэдр, воплощал в себе «все сущее»

Тетраэдр Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Тетра» означает четыре, « хедра » - означает грань (тетраэдр – четырехгранник).Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел. Тетраэдр имеет следующие характеристики: Тип грани – правильный треугольник; Число сторон у грани – 3; Общее число граней – 4; Число рёбер примыкающих к вершине – 3; Общее число вершин – 4; Общее число рёбер – 6 ; Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°. Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Гексаэдр (более привычное название - куб) Древние греки дали многограннику имя по числу граней. « Гексо » означает шесть, « хедра » - означает грань (Гексаэдр – шестигранник).Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел. Гексаэдр имеет следующие характеристики: Число сторон у грани – 4; Общее число граней – 6; Число рёбер примыкающих к вершине – 3; Общее число вершин – 8; Общее число рёбер – 12 ; Гексаэдр составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°. Гексаэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Икосаэдр Древние греки дали многограннику имя по числу граней. « Икоси » означает двадцать, « хедра » - означает грань (Икосаэдр – двадцатигранник). Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел. Икосаэдр имеет следующие характеристики: Тип грани – правильный треугольник; Число сторон у грани – 3; Общее число граней – 20; Число рёбер примыкающих к вершине – 5; Общее число вершин – 12; Общее число рёбер – 30 ; Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°. Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Октаэдр Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Окто» означает восемь, « хедра » - означает грань (октаэдр – восьмигранник).Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел. Октаэдр имеет следующие характеристики: Тип грани – правильный треугольник; Число сторон у грани – 3; Общее число граней – 8; Число рёбер примыкающих к вершине – 4; Общее число вершин – 6; Общее число рёбер – 12 ; Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°. Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Додекаэдр Древние греки дали многограннику имя по числу граней. « Додека » означает двенадцать, « хедра » - означает грань (додекаэдр – двенадцатигранник). Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел. Додекаэдр имеет следующие характеристики: Тип грани – правильный пятиугольник; Число сторон у грани – 5; Общее число граней – 12; Число рёбер примыкающих к вершине – 3; Общее число вершин – 20; Общее число рёбер – 30 ; Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°. Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Применение платоновых тел в науке Иоганн Кеплер (1571-1630 г.) – немецкий астроном. Открыл законы движения планет. В 1596 Кеплер предположил правило, по которому вокруг сферы Земли описывается додекаэдр, а в нее вписывается икосаэдр. Р асстояние между орбитами планет можно получить на основании Платоновых тел, вложенных друг в друга. Расстояния вычисленные при помощи этой модели, были достаточно близки к истинным.

В. Макаров и В. Морозов считают что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла оказывающего развитие всех природных взаимодействий и процессов идущих на планете. Силовое поле этого растущего кристалла обуславливает икосаэдро - додекаэдрическую структуру Земли (ИДСЗ). Эти многогранники вписаны друг в друга. Все природные аномалии, а также очаги развития цивилизаций соответствуют вершинам и рёбрам этих фигур.

Примеры: Некоторые из правильных многогранников встречаются в природе в виде кристаллических вирусов. Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра. Он может жить и размножаться только в клетках человека или примата. На микроскопическом уровне додекаэдр и икосаэдр является относительными параметрами ДНК, по которым построена вся жизнь. Можно увидеть, что молекула ДНК представляет собой вращающийся в куб.

Применение в кристаллографии Тела Платона нашли широкое применение в кристаллографии, так как многие кристаллы имеют форму правильных многогранников. Например, куб - монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр - монокристалл алюмокалиевых квасцов, одна из форм кристаллов алмаза – октаэдр.

http:// www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320031.htm http:// www.mnogogranniki.ru/stati/129-svojstva-platonovyh-tel.html stepanov.lk.net http://www.goldenmuseum.com/0213Solids_rus.html

Платоновы тела - это совокупность всех правильных многогранников, объемных (трехмерных) тел, ограниченных равными правильными многоугольниками, впервые описанных Платоном. Им также посвящена заключительная, XIII книга «Начал» Платонова ученика Евклида. При всём бесконечном многообразии правильных многоугольников (двумерных геометрических фигур, ограниченных равными сторонами, смежные пары которых попарно образуют равные между собой углы), существует всего пять объемных П. т., в соответствие которым со времен Платона ставятся пять стихий мироздания: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.

Платоновы тела

Знание о первоэлементах было доступно древним восточным культурам, таким как индийская и китайская. Платон, а также пифагорейцы, тщательно изучили философские, математические и магические аспекты правильных выпуклых многогранников. Согласно древним знаниям, каждый из этих многогранников соответствует определенной стихии мироздания (первоэлементу) и концентрирует ее энергию. Вершины многогранников излучают энергию, а центры граней поглощают. Ниже дана иллюстрация связи Платоновых тел и первоэлементов из книги Друнвало Мельхиседека "Древняя тайна цветка жизни" :

Далее рассмотрены энергетические характеристики многоугольников с точки зрения китайского учения «У-cин». Зная иньский или янский характер излучения многогранников, а также энергии их стихий, доктора китайской медицины могут оперировать ими как средствами, гармонизирующими энергию человека.

● Гексаэдр (куб) имеет 8 излучающих энергию точек-вершин и 6 граней, в которых происходит поглощение энергии. Так как излучающих точек больше, чем поглощающих, то в соответствии с китайским учением «У-Син» куб относится к мужскому принципу «Ян».

● У октаэдра существует 6 точек-вершин излучения и 8 граней поглощения. Следовательно, октаэдр поглощает больше энергии, чем излучает, поэтому он относится к женскому началу «Инь».

● Тетраэдр имеет 4 вершины и 4 грани, что приводит к равенству «Инь-Ян».

● У икосаэдра 12 вершин и 20 граней, имеющих вид правильных треугольников, поэтому он выражает принцип «Инь».

● Додекаэдр имеет 20 вершин и 12 граней и поэтому он выражает принцип «Ян». Его 12 граней имеют форму правильных пятиугольников.

Согласно Мельхиседеку, существует связь между Платоновыми телами из " Цветком жизни ", точнее, они сокрыты в Кубе Метатрона , который заложен в Цветке жизни. В этой статье я дам лишь немного информации из этой книги для ознакомления. Тема эта очень сложна и обширна, но если вы захотите её изучить подробно, книга "Древняя тайна цветка жизни" доступна в интернете.

Цветок жизни - это современное название геометрической фигуры, состоящей из нескольких расположенных равномерно, одинаковых окружностей, которые образуют рисунок с шестикратной симметрией, как у Гексагона (шестигранника). Это древнейший символ сакральной геометрии, известный многим древним культурам по всей Земле, изображающий, как полагают, основную форму существования пространства и времени:

Цветок жизни

Цветок жизни - двухмерное изображение - является символом, проекцией трёхмерной фигуры. И в этой трёхмерной фигуре сокрыт Куб Метатрона:

Куб Метатрона

Куб Метатрона, вписанный в Цветок жизни.

Куб Метатрона соответственно также является не плоской фигурой, а трёхмерным телом. Если соединить линиями все центры шаров Куба Метатрона, то эти линии будут гранями пяти Платоновых тел:

Тетраэдр, вписанный в Куб Метатрона.

Куб, вписанный в Куб Метатрона.

Октаэдр, вписанный в Куб Метатрона.

Икосаэдр, вписанный в Куб Метатрона.

Додекаэдр, вписанный в Куб Метатрона.

Введение

Данная курсовая работа предназначена для того чтобы:

1) закрепить, углубить и расширить теоретические знания в области методов моделирования поверхностей и объектов, практические умения и навыки программной реализации методов;

2) усовершенствовать навыки самостоятельной работы;

3) выработать умения формулировать суждения и выводы, логически последовательно и доказательно их излагать.

Тела Платона

Тела Платона - это выпуклые многогранники, все грани которых правильные многоугольники. Все многогранные углы правильного многогранника конгруэнтны. Как это следует уже из подсчета суммы плоских углов при вершине, выпуклых правильных многогранников не больше пяти. Указанным ниже путем можно доказать, что существует именно пять правильных многогранников (это доказал Евклид). Они - правильный тетраэдр, гексаэдр(куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Названия этих правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник". "двенадцатигранник", "двадцатигранник".

Таблица№1

Таблица№2

Название:	Радиус описанной сферы	Радиус вписанной сферы
Тетраэдр
Гексаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр

Тетраэдр - четырехгранник, все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками. (рис.1).

Куб или правильный гексаэдр - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами. (рис.1).

Октаэдр - восьмигранник; тело, ограниченное восемью треугольниками; правильный октаэдр ограничен восемью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников. (рис.1).

Додекаэдр - двенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью многоугольниками; правильный пятиугольник. (рис.1).

Икосаэдр - двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью многоугольниками; правильный икосаэдр ограничен двадцатью равносторонними треугольниками. (рис.1).

Куб и октаэдр дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением “крыш” на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен - ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!

Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр? воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр? воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.

Гармоничные отношения древние греки считали основой мироздания, поэтому четыре стихии у них были связаны такой пропорцией: земля/вода = воздух/огонь.

В связи с этими телами уместно будет сказать, что первая система элементов, включавшая четыре элемента? землю, воду, воздух и огонь, - была канонизирована Аристотелем. Эти элементы оставались четырьмя краеугольными камнями мироздания в течение многих веков. Вполне возможно отождествить их с известными нам четырьмя состояниями вещества - твердым, жидким, газообразным и плазменным.

Важное место занимали правильные многогранники в системе гармоничного устройства мира И. Кеплера. Все та же вера в гармонию, красоту и математически закономерное устройство мироздания привела И. Кеплера к мысли о том, что поскольку существует пять правильных многогранников, то им соответствуют только шесть планет. По его мнению, сферы планет связаны между собой вписанными в них платоновыми телами. Поскольку для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце.

Проделав огромную вычислительную работу, в 1596 г. И. Кеплер в книге "Тайна мироздания" опубликовал результаты своего открытия. В сферу орбиты Сатурна он вписывает куб, в куб? сферу Юпитера, в сферу Юпитера - тетраэдр, и так далее последовательно вписываются друг в друга сфера Марса? додекаэдр, сфера Земли? икосаэдр, сфера Венеры? октаэдр, сфера Меркурия. Тайна мироздания кажется открытой.

Сегодня можно с уверенностью сказать, что расстояния между планетами не связаны ни с какими многогранниками. Впрочем, возможно, что без "Тайны мироздания", "Гармонии мира" И. Кеплера, правильных многогранников не было бы трех знаменитых законов И. Кеплера, которые играют важную роль в описании движения планет.

Где еще можно увидеть эти удивительные тела? В книге немецкого биолога начала прошлого века Э. Геккеля "Красота форм в природе" можно прочитать такие строки: "Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы". Создания природы, приведенные в этой книге, красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Но здесь видно и одноклеточные организмы? феодарии, форма которых точно передает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший объем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи.

Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень? икосаэдр. Его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. Правильные многогранники? самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Так, куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl, монокристалл алюминиево-калиевых квасцов (KAlSO4)2 12Н2О имеет форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра, сурьмянистый сернокислый натрий - тетраэдра, бор - икосаэдра. Правильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ.

Итак, правильные многогранники открыли нам попытки ученых приблизиться к тайне мировой гармонии и показали неотразимую привлекательность и красоту этих геометрических фигур.

Платону принадлежит разработка некоторых важных методологических проблем математического познания: аксиоматическое построение математики, исследование отношений между математическими методами и диалектикой, анализ основных форм математического знания. Так, процесс доказательства необходимо связывает набор доказанных положений в систему, в основе которой лежат некоторые недоказуемые положения. Тот факт, что начала математических наук "суть предположения", может вызвать сомнение в истинности всех последующих построений. Платон считал такое сомнение необоснованным. Согласно его объяснению, хотя сами математические науки, "пользуясь предположениями, оставляют их в неподвижности и не могут дать для них основания", предположения находят основания посредством диалектики. Платон высказал и ряд других положений, оказавшихся плодотворными для развития математики. Так, в диалоге "Пир" выдвигается понятие предела; идея выступает здесь как предел становления вещи.

ТЕЛА ПЛАТОНА.

Тела Платона-это выпуклые многогранники, все грани которых правильные многоугольники. Все многогранные углы правильного многогранника конгруэнтны. Как это следует уже из подсчета суммы плоских углов при вершине, выпуклых правильных многогранников не больше пяти. Указанным ниже путем можно доказать, что существует именно пять правильных многогранников (это доказал Евклид). Они - правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

ТАБЛИЦА№1

ТАБЛИЦА№2

Название:	Радиус описанной сферы	Радиус вписанной сферы	Объем
Тетраэдр	а\/6 4	a\/6 12	a3\/2 12
Куб	а\/3 2	a 2	a3
Октаэдр	а\/2 2	a\/6 6	a3\/2 12
Додекаэдр	a 4 \/18+6\/5	1 2 25+11\/5 10	a3 4 (15+7\/5)
Икосаэдр	a 12(3+\/5)\/3	5 12 a3(3+\/5)

Тетраэдр-четырехгранник, все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многоугольников. (рис.1).

Куб или правильный гексаэдр - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами. (рис.2).

Октаэдр-восьмигранник; тело, ограниченное восемью треугольниками; правильный октаэдр ограничен восемью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников. (рис.3).

Додекаэдр-двенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью многоугольниками; правильный пятиугольник; один из пяти правильных многогранников. (рис.4).

Икосаэдр-двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью многоугольниками; правильный икосаэдр ограничен двадцатью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников. (рис.5).

Куб и октаэдр дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен- ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!

Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, XII книга знаменитых начал Евклида. Эти многогранники часто называют также платоновыми телами в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном. Четыре из них олицетворяли четыре стихии: тетраэдр-огонь, куб-землю, икосаэдр-воду и октаэдр-воздух; пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание его по латыни стали называть quintaessentia («пятая сущность»). Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по-видимому, было не трудно, тем более что эти формы имеют природные кристаллы, например: куб-монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр-монокристалл алюмокалиевых квасцов ((KalSO4)2*12H2O). Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS). Имея же додекаэдр нетрудно построить и икосаэдр: его вершинами будут центры двенадцати граней додекаэдра.

Список литературы

1.«Советская Энциклопедия» Москва 1979г.

2.Математический энциклопедический словарь/ «Советская Энциклопедия», 1988г.

3.Математика: Школьная энциклопедия /Гл. ред. М 34 С.М. Никольский. - М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 1996,-527 С.: ил