Платоновы тела из медной проволоки. Платоновы тела. Что это такое? Пять правильных многогранников

22.09.2019

Названия пяти выпуклых правильных многогранников:тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Многогранники названы по имени Платона, к рый в соч. Тимей (4 в. до н. э.) придавал им мистич. смысл; были известны до Платона … Математическая энциклопедия

То же, что правильные Многогранники … Большая советская энциклопедия

- … Википедия

Федон, или О бессмертии души названный по имени ученика Сократа, Федона (см.), диалог Платона, один из самых выдающихся. Это единственный диалог Платона, который называет Аристотель, и один из немногих, которые признаются подлинными по… …

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Один из лучших в художественном и философском отношении диалогов Платона, признаваемый подлинным по единогласному приговору как древности, так и современной науки. В новейшей платоновской критике спорили лишь о времени его написания: одни ставили … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Философские идеи в сочинениях Платона - кратко Философское наследие Платона обширно, Оно составляет 34 произведения, которые почти.целиком сохранились и дошли до нас. Эти произведения написаны в основном в форме диалога, а главным действующим лицом в них по большей части является… … Малый тезаурус мировой философии

Додекаэдр Правильный многогранник, или Платоново тело это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией. Многогранник называется правильным, если: он выпуклый все его грани являются равными правильными многоугольниками в каждой его… … Википедия

Тела Платона, выпуклые многогранники, все грани к рых суть одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах правильные и равные (рис. 1a 1д). В евклидовом пространстве Е 3 существуют пять П. м., данные о к рых приведены в … Математическая энциклопедия

ДУША - [греч. ψυχή], вместе с телом образует состав человека (см. статьи Дихотомизм, Антропология), будучи при этом самостоятельным началом; Д. человека заключает образ Божий (по мнению одних отцов Церкви; по мнению других образ Божий заключен во всем… … Православная энциклопедия

Книги

Тимей (изд. 2011 г.) , Платон. Платоновский Тимей является единственным систематическим очерком космологии Платона, которая до сих пор выступала у него только в разбросанном и случайном виде. Это создало славу Тимею по…
Дискуссионные вопросы о душе. Исследования 6 , Аквинский Ф.. Жанр`дискуссионных вопросов`(quaestiones disputatae) представляет собой особый схоластический жанр, используемый в средневековых университетах.`Дискуссионные вопросы о душе`являются одним из…

Каждый, изучавший священную геометрию или даже просто обычную геометрию, знает, что существуют пять уникальных форм, и для понимания как священной, так и обычной геометрии они являются решающими. Их именуют Платоновыми телами (Рис.6-15>).

Платоново тело определяется некоторыми характеристиками. Прежде всего, все грани его имеют одинаковый размер. Например, куб, самое известное из Платоновых тел, имеет каждой своей гранью квадрат, и все его грани - одинакового размера. Второе, все рёбра Платонового тела имеют одинаковую длину; все рёбра куба – одной длины. Третьее: все внутренние углы между гранями имеют одинаковую величину. В случае куба, этот угол равен 90 градусам. И четвёртое: если Платоново тело поместить внутрь сферы (правильной формы), то все вершины его будут касаться поверхности сферы. Таким определениям, кроме куба (А), отвечают только четыре формы, обладающие всеми этими характеристиками. Вторым будет тетраэдр (В) (тетра означает «четыре») –это полиэдр, имеющий четыре грани, все - равносторонние треугольники, одинаковую длину рёбер и одинаковый угол, и – все вершины касаются поверхности сферы. Другая простая форма – это октаэдр (С) (окта значит «восемь»), все восемь граней представляют собой равносторонние треугольники одинакового размера, длина рёбер и углов одинакова, и все вершины касаются поверхности сферы.

Остальные два Платоновых тела немного сложнее. Один называется икосаэдром (D) - значит, он имеет 20 граней, имеющих вид равносторонних треугольников при одинаковой длине рёбер и углов; все его вершины тоже касаются поверхности сферы. Последний называется пентагональным додeкаэдром (Е) (додэка - это 12), гранями которого являются 12 пентагонов (пятиугольники) при одинаковой длине рёбер и одинаковых углах; все его вершины касаются поверхности сферы.

Если вы – инженер или архитектор, то вы изучали эти пять форм в колледже, хотя бы поверхностно, потому что они являются базовыми структурами.

Их источник: Куб Метатрона

Если вы изучаете священную геометрию, то неважно, какую вы раскроете книгу: она покажет вам пять Платоновых тел, потому что они являются азбукой священной геометрии. Но если вы прочитаете все эти книги – a я прочитал их почти что все – и спросите специалистов: «Откуда берутся Платоновы тела? Каков их источник?», то почти каждый скажет, что он не знает. Дело в том, что происходят эти пять Платоновых тел из первой информационной системы Плода Жизни. Сокрытые в линиях Куба Метатрона (см.
Рис.6-14>), все эти пять форм там существуют. При разглядывании Куба Метатрона вы смотрите на все пять Платоновых тел одновременно. Чтобы увидеть каждое из них лучше, вам нужно проделать заново тот трюк, где вы стирали некоторые из линий. Стерев все линии за исключением нескольких определённых, вы получите этот куб (Рис.6-16 >).

Ну что, видите куб? В действительности, это куб внутри куба. Некоторые из линий проведены пунктиром, потому что они оказываются за передними гранями. Они невидимы, если куб становится сплошным, непрозрачным телом. Вот непрозрачная форма большего куба (Рис.6-16а>). (Убедитесь в том, что вы его видите, потому что увидеть следующие фигуры по мере нашего продвижения будет всё труднее и труднее).

Стирая некоторые линии и соединяя другие центры (
Рис.6-17>), вы получаете два вставленных друг в друга тетраэдра, которые образуют звёздный тетраэдр. Как и в случае с кубом, на самом деле вы получаете два звёздных тетраэдра, один в другом. Вот сплошная форма большего звёздного тетраэдра (Рис.6-17а>).

Рис.6-18> – это октаэдр внутри другого октаэдра, хотя вы смотрите на них под определённым особым углом. Рис.6-18а> – непрозрачная версия большего октаэдра.

Рис.6-19> – один икосаэдр внутри другого, и Рис.6-19а> – непрозрачная версия большего из них. Это становится как-то проще, если вы рассматриваете его таким образом.

Это - трёхмерные объекты, исходящие из тринадцати кругов Плода Жизни.

Это картина Суламифь Вулфинг – Христос-Младенец внутри икосаэдра (
Рис.6-20>), что очень соответствует истине, поскольку икосаэдр, как вы сейчас увидите, представляет воду, а Христос был крещён в воде, начале нового сознания.

Это пятая и последняя форма – два пентагональных додекаэдра, один в другом (Рис.6-21>) (здесь для простоты показан только внутренний додекаэдр).

Рис. 21 – это сплошная форма.

Как мы видели, все пять Платоновых тел могут быть обнаружены в Кубе Метатрона (Рис.6-22>).

Недостающие линии

Когда я искал последнее Платоново тело в Кубе Метатрона, додекаэдр, у меня ушло на это около двадцати лет. После того, как ангелы сказали: «Они все тут внутри», я начал смотреть, но никак не мог найти додэкаедр. Наконец, однажды один ученик сказал мне: «Эй, Друнвало, ты забыл некоторые линии Куба Метатрона.» Когда он показал их, я посмотрел и сказал: «Ты прав, я забыл». Я думал, что я соединил все центры между собой, но некоторые я, оказывается, забыл. Не удивительно, что я не мог найти этот додекаэдр, потому что его определяли эти недостающие линии! Более двадцати лет я был убеждён, что у меня были проведены все линии, в то время, как у меня их не было.

Это одна из больших проблем науки, когда считается, что задача разрешена; затем она двигается дальше и использует эту информацию для дальнейших своих построений. Сейчас, например, наука имеет такого же рода проблему вокруг тел, падающих в вакууме. Всегда считалось, что они падают с одинаковой скоростью, и многое в нашей передовой науке основывается на этом фундаментальном «законе». Было доказано, что это не так, но наука этим всё равно продолжает пользоваться. Вращающийся шар падает значительно быстрее, чем невращающийся. Когда-то наступит день научной расплаты.

Когда я был женат на Макки, она тоже была очень увлечена священной геометрией. Её работа для меня очень интересна, потому что она представляет женский аспект, там действуют пентагональные энергии правого полушария мозга. Она показывает, как эмоции, цвета и формы - все взаимосвязаны. В действительности она нашла додекаэдр в Кубе Метатрона прежде, чем это сделал я. Она взяла его и сделала нечто такое, до чего я бы никогда не додумался. Видите ли, Куб Метатрона обычно рисуется на плоской поверхности, но в самом деле это трёхмерная форма. Так, однажды я держал в руках это трёхмерную форму и пытался найти там додэкаедр, а Макки сказала: «Дай-ка, я взгляну на эту штуку». Она взяла трёхмерную форму и провернула его на угол пропорции f (phi ratio). (О чём мы ещё не говорили, так это то, что пропорция (ratio) Золотой Середины, именуемая также пропорцией f (phi ratio), равняется точно 1,618) . Вращение формы таким образом было чем-то, до чего я бы никогда не додумался. Проделав это, она обрисовала отбрасываемую этой формой тень и получила такое изображение (
Рис.6-23>).

Макки сначала сама создала это, а затем передала мне. Центр тут находится в пентагоне А. Затем, если вы возьмёте пять пентагонов, выходящих из А (пентагоны В) и ещё по одному пентагону, выходящему из каждого из этих пяти (пентагоны С), вы получаете развёрнутый додекаэдр. Я подумал: «Вау, я впервые нахожу тут вообще какой-то додэкаедр .» Она проделала это за три дня. Я никак не мог найти его целых двенадцать лет.

Однажды мы почти целый день провели за разглядыванием этой картинки. Она была потрясающа, потому что все до единой линии на этой картинке соответствуют пропорции Золотой Середины. И всюду тут – трёхмерные прямоугольники Золотой Середины. Один есть в точке Е, где два ромба, сверху и снизу, являются верхом и низом трёхмерного прямоугольника Золотой Середины, а пунктирные линии являются его рёбрами. Это поразительная штука. Я сказал: «Я не знаю, что это такое, но это, вероятно, очень важно». Так, мы отложили это, чтобы поразмыслить потом.

Квази-кристаллы

Позже я узнал о совершенно новой науке. Эта новая наука полностью изменит мир технологии. При использовании новой технологии металлурги наверняка смогут создать металл в десять раз твёрже алмаза, если вы можете себе такое вообразить. Он будет невероятно прочным.

Долгое время при исследовании металлов для того, чтобы увидеть, где расположены атомы, пользовались методом, именуемым рентгеновской дифракцией. Скоро я покажу фотографию рентгеновской дифракции. Обнаружились некие особые модели, определяющие существование только каких-то определённых атомных структур. Казалось, что это-то и всё, что можно узнать, потому что это было всё, что возможно было обнаружить. Это ограничило возможность изготовления металлов.

Затем, в журнале «Scientific American» проходила игра, которая основывалась на модели Пенроуза. Был такой британский математик и релятивист, Роджер Пенроуз (Roger Penrose), вычислявший, как уложить черепицу, плитки которой имеют форму пентагона, так, чтобы она полностью покрывала плоскую поверхность. Полностью покрыть плоскую поверхность черепицей в форме только лишь пентагонов невозможно – заставить это работать нет никакой возможности. Тогда он предложил две формы ромба, являющиеся производными от пентагона, и, используя эти две формы, ему удавалось создать множество различных моделей, покрывающих плоскую поверхность. В восьмидесятых годах журнал «Scientific American» предложил игру, суть которой сводилась к тому, чтобы сложить уже эти данные модели в новые формы; впоследствии это дало возможность учёным-металлургам, наблюдавшим за игрой, предположить существование чего-то нового в физике.

В конце концов, они обнаружили новую модель атомной решётки. Она существовала всегда; они просто её обнаружили. Эти модели решёток теперь именуются квази-кристаллами; это новое явление (1991). Через металлы они вычисляют, какие формы и модели возможны. Учёные находят способы использования этих форм и моделей для изготовления новых металлических изделий. Я готов биться об заклад, что модель, которую получила Макки из Куба Метатрона, является самой замечательной из всех, и что любая модель Пенроуза является её производной. Почему? Потому, что она вся подчинена закону Золотого Сечения, она основная – она произошла непосредственно из основной модели в Кубе Метатрона. Хотя это не моё дело, но когда-нибудь, вероятно, я определю, так ли это. Я вижу, что вместо того, чтобы использовать две модели Пенроуза и пентагон, тут используется только одна из этих моделей и пентагон (Я как раз подумал, что я предложил бы этот вариант). То, что происходит в этой новой науке сейчас, интересно.

Новейшая информация: Согласно данным Девида Эдейра (David Adair), NАSА только что изготовила в космосе металл, который в 500 раз прочнее титана, лёгок, как пена и прозрачен, как стекло. Основан ли он на этих законах?

По мере того, как будут разворачиваться события в этой книге, вы обнаружите, что священная геометрия может в подробностях объяснить любой, какой бы то ни было, предмет. Не существует ни единого явления, которое вы могли бы произнести своим голосом, чтобы оно не могло бы быть описано целиком, полностью и в совершенстве, с учётом всего возможного знания , священной геометрией. (Мы различаем понятия «знание» и «мудрость»: мудрость нуждается в опыте). Однако же, более важная цель этого труда заключается в напомнинании вам того, что вы сами имеете потенциал живого поля Мер-Ка-Ба вокруг своего тела и в том, чтобы научить вас, как его использовать. Я буду постоянно подходить к местам, где я отклоняюсь ко всякого рода корням и ветвям и говорю на всевозможные мыслимые и немыслимые темы. Но я всегда буду возвращаться назад в колею, потому что я веду всё в одном определённом направлении, к Мер-Ка-Ба, световому телу человека.

Много лет я провёл в изучении священной геометрии, и уверен, что можно узнать всё, что вообще узнать возможно, всё что угодно о любом предмете, стоит только сосредоточить своё внимание на сокрытой за этим предметом геометрии. Всё, что необходимо, это компас и линейка – вам даже компьютер не нужен, хотя, он помогает. Всё знание вы уже имеете внутри себя, и всё, что вам нужно сделать, это раскрыть его. Вы просто исследуете карту движения духа в Великой Пустоте, вот и всё. Вы можете разгадать тайну любого предмета.

Подведём итог: первая информационная система выходит из Плода Жизни через Куб Метатрона. Соединением центров всех сфер вы получаете пять фигур – в действительности шесть, потому что ещё есть центральная сфера, с которой всё начиналось. Так, вы имеете шесть первоначальных форм – тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр и сфера.

Новейшая информация: В 1998 году мы начинаем развивать ещё одну новую науку: нанотехнологию . Мы создали микроскопические «машины», способные входить внутрь металла или кристаллических матриц и перестраивать атомы. В 1996 или 1997 годах в Европе при использовании нанотехнологии был создан алмаз из графита. Это алмаз размером около трёх футов в поперечнике, и он – настоящий. Когда соединятся наука о квази-кристаллах и нанотехнология, то наше представление о жизни тоже изменится. Взгляните на конец 1800-ых годов по сревнению с сегодняшним днём.

Платоновы тела и Элементы

Такие древние алхимики и великие души, как Пифагор, отец Греции, считали, что каждая из этих шести фигур представляет собой модель соответствующего элемента (Рис.6-24>).

Тетраэдр считался моделью элемента огня, куб – земли, октаэдр – воздуха, икосаэдр – воды, и додекаэдр – эфира. (Эфир, прана и энергия тахиона) – всё это одно и то же; оно распространено всюду и доступно в любой точке пространства/времени/измерения. Это великая тайна технологии нулевой точки. И сфера представляет Пустоту. Эти шесть элементов являются строительными кирпичиками вселенной. Они создают качества вселенной.

В алхимии обычно говорится только об этих элементах: огонь, земля, воздух и вода; редко упоминается эфир или прана, потому что это настолько священно. В Пифагорейской школе, стоило бы вам только лишь упомянуть за стенами школы слово «додекаэдр», как вас убили бы на месте. Настолько священной считалась эта фигура. О ней даже не говорили. Спустя двести лет, при жизни Платона, о ней говорили, но только очень осторожно.

Почему? Потому, что додекаэдр расположен у внешнего края вашего энергетического поля и является высшей формой сознания. Когда вы достигаете 55-футового предела своего энергетического поля, то оно будет иметь форму сферы. Но самая близкая к сфере внутренняя фигура – это додекаэдр (в действительности, додекаэдро-икосаедральная взаимосвязь). Вдобавок к этому, мы живём внутри большого додекаэдра, который содержит в себе вселенную. Когда ваш ум достигает предела пространства космоса – а предел тут есть – то он натыкается на додекаэдр, замкнутый в сфере. Я могу сказать это потому, что человеческое тело является голограммой вселенной и содержит в себе те же самые основы и законы. Двенадцать созвездий зодиака входят сюда же. Додекаэдр есть завершающая фигура геометрии и она очень важна. На микроскопическом уровне, додекаэдр и икосаэдр являются относительными параметрами ДНК, планами, по которым построена вся жизнь.

Можно соотнести три столбика на этом изображении (Рис.6-24>) с Древом Жизни и тремя первичными энергиями вселенной: мужской (слева), женской (справа) и детской (в центре). Либо же, если вы вникаете непосредственно в структуру вселенной, то имеете протон слева, электрон справа и нейтрон посередине. Этот центральный столбик, который является созидающим, есть младенец. Помните, чтобы начать процесс выхода из Пустоты, мы шли от октаэдра к сфере. Это начало процесса созидания, и обнаруживается оно в младенце, или центральном столбике.

Левый столбик, содержащий тетраэдр и куб, представляет мужскую составляющую сознания, левое полушарие мозга. Гранями этих полигонов являются треугольники или квадраты. Центральный столбик – это мозолистое тело (corpus callosum), соединяющее левую и правую стороны. Правый столбик, содержащий додекаэдр и икосаэдр представляет женскую составляющую сознания, правое полушарие мозга, и грани этих полигонов составлены из треугольников и пентагонов. Таким образом, полигоны слева имеют трёх- и четырёхрёберные грани, а формы справа имеют трёх- и пятирёберные грани.

Говоря языком Земного сознания, правый столбик является недостающей составляющей. Мы создали мужскую (левую) сторону Земного сознания, и теперь, для достижения целостности и равновесия, мы завершаем создание женской составляющей. Правая сторона связана также с Христовым сознанием или сознанием единства. Додекаэдр является основной формой сетки Христова сознания вокруг Земли. Две формы правого столбика представляют собой друг относительно друга то, что именуется парными фигурами, то есть, если вы соедините центры граней додекаэдра прямыми линиями, то получите икосаэдр, если же вы соедините центры икосаэдра, то получите опять додекаэдр. Многие многогранники имеют пары.

Священные 72

В книге Дан Уинтера «Математика Сердца» (Dan Winter, Heartmath) показано, что молекула ДНК составлена из взаимоотношений двойственности додекаэдров и икосаэдров. Можно увидеть также, что молекула ДНК представляет собой вращающийся куб. При повороте куба последовательно на 72 градуса по определённой модели, получается икосаэдр, который, в свою очередь, составляет пару додекаэдру. Таким образом, двойная нить спирали ДНК построена по принципу двухстороннего соответствия: за икосаэдром следует додекаэдр, затем опять икосаэдр, и так далее. Это вращение через куб создаёт молекулу ДНК. Уже определено, что в основе структуры ДНК лежит священная геометрия, хотя, могут обнаружиться ещё и другие скрытые взаимосвязи.

Этот угол в 72 градуса, вращающийся в нашей ДНК, связан с планом/назначением Великого Белого Братства. Как вам, быть может, известно, с Великим Белым Братством связано 72 ордена. Многие говорят о 72 ангельских орденах, а Иудеи упоминают 72 названия Бога. Причина, почему именно 72, имеет отношение к строению Платоновых тел, что связано также с сеткой Христова сознания вокруг Земли.

Если взять два тетраэдра и наложить их друг на друга (но в различных положениях), то получится звёздный тетраэдр, который при рассмотрении под определённым углом будет выглядеть никак иначе, как куб (Рис.6-25>). Вы можете увидеть, как они взаимосвязаны. Таким же образом можно сложить вместе пять тетраэдров и получить икосаэдральный колпачок (Рис.6-26).

Если создать двенадцать икосаэдральных колпачков и наложить по одному на каждую грань додекаэдра (на создание додекаэдра потребуется 5 раз 12 или 60 тетраэдров), то это будет звёздный – stellated – додекаэдр, потому что каждая его вершина оказывается точно над центром каждой грани додекаэдра. Парная ему фигура будет составлена из 12 вершин в центре каждой грани додекаэдра и окажется икосаэдром. Эти 60 тетраэдров плюс 12 точек в центрах составят в сумме 72 – опять число орденов, связанных с Белым Братством. Братство в действительности действует через физические взаимоотношения этой звёздной формы додекаэдра/икосаэдра, которая является основой сетки Христова сознания вокруг мира. Иными словами, Братство предпринимает попытки выявления сознания правого полушария мозга планеты.

Первоначальный орден был Альфой и Омегой – Орден Мелхизедек, который был основан Мачивентой Мелхизедек (Machiventa Melchizedek) около 200200 лет назад. С тех пор были основаны другие ордена, всего 71. Самый молодой – это Братство Семи Лучей в Перу/Боливия, семьдесят второй орден.

Каждый из 72 орденов имеет ритм жизни, подобный синусоиде, где некоторые из них проявляются в течение какого-то отрезка времени, затем на некоторое время исчезают. У них есть биоритмы точно также, как имеет их человеческое тело. Цикл Ордена Розенкрейцеров, например, составляет столетие. Они проявляются на сто лет, затем на следующие сто лет исчезают совершенно – они буквально исчезают с лица Земли. Спустя сто лет, они опять появляются в этом мире и действуют в течение следующих ста лет.

Все они находятся в различных циклах и все действуют сообща ради достижения одной цели – вернуть Христово сознание назад на эту планету, чтобы восстановить эту утраченную женскую составляющую сознания и привести к равновесию левое и правое полушарие мозга планеты. Есть другой способ рассмотрения этого явления, коорый действительно необычен. Я к этому подойду, когда мы будем говорить об Англии.

Использование бомб и понимание основной модели творения

Вопрос: Что происходит с элементами, когда взрывают атомную бомбу?

Что касается элементов – они превращаются в энергию и другие элементы. Но дело не только в этом. Имеются бомбы двух видов: распада и расплава - термоядерные. Распад расщепляет материю на части, а термоядерная реакция сплавляет её воедино. Со сплавлением воедино всё в порядке – относительно этого никто не жалуется. Все известные солнца во вселенной представляют собой термоядерные реакторы. Я отдаю себе отчёт в том, что произносимое мною сейчас ещё не признано наукой, но - разрывание материи на части здесь, на Земле, воздействует на соответствующую область во внешнем космосе – как вверху, так и внизу. Иными словами, микрокосмос и макрокосмос взаимосвязаны. Вот почему реакция распада находится вне закона во всей вселенной.

Взрывание атомных бомб вызывает также чудовищное нарушение равновесия на Земле. Например, если принять во внимание, что созидание уравновешивает землю, воздух, огонь, воду и эфир, то атомная бомба становится причиной проявления огромного количества огня на одном месте. Это приводит к нарушению равновесия и Земля должна на это отреагировать.

Если вылить на город 80 биллионов тонн воды, это тоже будет неуравновешенной ситуацией. Если только где-то оказывается слишком много воздуха, слишком много воды, слишком много чего бы то ни было, то это нарушает равновесие. Алхимия есть знание о том, как все эти явления удерживать в равновесии. Если вы понимаете значение этих геометрических фигур и знаете их взаимоотношения, то вы можете создать то, что хотите. Вся идея заключается в понимании лежащей в основе карты . Помните, карта показывает путь, которым дух движется в Пустоте. Если вы знаете лежащую в основе карту, тогда вы обладаете знанием и пониманием, необходимым для сотворчества с Богом.

Рис.6-27> показывает взаимоотношения всех этих фигур. Каждая вершина связана со следующей и все они находятся в определённых математических соотношениях, связанных с пропорцией f (phi ratio).

Платоновы тела

Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.

Л. Кэррол

Человек всегда проявлял интерес к многогранникам. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа. Что же такое многогранник? Многогранником называется часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников.

Издавна ученые интересовались «идеальными» или правильными многоугольниками, то есть многоугольниками, имеющими равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничить часть плоскости. Общую картину интересующих нас правильных многоугольников наряду с равносторонним треугольником составляют: квадрат (четыре стороны), пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), октагон (восемь сторон), декагон (десять сторон) и т. д. Очевидно, что теоретически нет каких-либо ограничений на число сторон правильного многоугольника, то есть число правильных многоугольников бесконечно.

Что же такое правильный многогранник? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? В XIII книге «Началах Эвклида», посвященной правильным многогранникам, или платоновым телам (Платон их рассматривает в диалоге «Тимей») мы находим строгое доказательство того, что существует только пять правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны.

Доказательство того, что существует ровно пять правильных выпуклых многогранников, очень простое.

Очевидно, что каждая вершина многогранника может принадлежать трем и более граням. Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника – равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла, помещенные на плоскость, дадут в сумме 180°. Если теперь согнуть эти углы по внутренним сторонам и склеить по внешним, получим многогранный угол тетраэдра – правильного многогранника, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани. Три правильных треугольника с общей вершиной называется разверткой вершины тетраэдра. Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. Добавление пятого треугольника даст угол 300° – мы получаем развертку вершины икосаэдра. Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360° – эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.

Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол 3 x 90° = 270° – получается вершина куба, который также называют гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° – этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник.

Три пятиугольные грани дают угол развертки 3 x 108° = 324° – вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, получим больше 360°.

Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3 x 120° = 360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.

Таким образом, мы убедились, что существует лишь пять выпуклых правильных многогранников – тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями.

Пять правильных многогранников или платоновых тел использовались и были известны задолго до времени Платона. Кейт Кричлоу в своей книге «Время остановилось» дает убедительное свидетельство тому, что они были известны людям неолита Британии, по крайней мере, за 1000 лет до Платона. Это заявление основывается на наличии ряда сферических камней, хранящихся в музее Ашмолина в Оксфорде. Эти камни, размеры которых соответствовали тому, что можно уместить в руке, были покрыты геометрически точными сферическими фигурами куба, тетраэдра, октаэдра, икосаэдра и додекаэдра, также как и некоторые дополнительные сложносоставные и псевдоправильные тела, такие как кубо-октаэдр и ико-додекаэдр. Кричлоу говорит: «То что у нас есть, представляет собой объекты, несомненно указывающие на степень математических способностей, которые до сих пор отрицались в отношении человека неолита некоторыми археологами или историками математики».

Теэтет Афинский (417–369 до н. э.), современник Платона, дал математическое описание правильных многогранников и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

В «Тимее», который, по сравнению со всеми остальными работами Платона, носит наиболее ярко выраженный пифагорейский характер, он утверждает, что четырьмя базовыми элементами в мире являются земля, воздух, огонь и вода, и что каждый из этих элементов соотносится с одной из пространственных фигур. Традиция связывает куб с землей, тетраэдр с огнем, октаэдр с воздухом и икосаэдр с водой. Платон упоминает «некое пятое построение», использованное создателем при сотворении вселенной. Так додекаэдр стал ассоциироваться с пятым элементом: эфиром. Устроитель вселенной Платона установил порядок из первобытного хаоса этих элементов с помощью основополагающих форм и чисел. Приведение в порядок в соответствии с числом и формой на более высоком уровне привело к предначертанному расположению пяти элементов в физической вселенной. Основополагающие формы и числа затем стали действовать в качестве границы раздела между высшим и низшим мирами. Сами по себе и в силу своей аналогии с другими элементами, они обладали способностью формировать материальный мир.

Те же пять правильных тел в соответствии с классической традицией рисуются таким образом, что они содержатся в девяти концентрических шарах, и каждое тело соприкасается со сферой, которая описана вокруг следующего тела, расположенного внутри ее. Такая композиция проявляет немало важных взаимоотношений и заимствована из дисциплины, называемой corpo transparente , относящейся к восприятию сфер, изготовленных из прозрачного материала и размещенных одна в другой. Такое наставление давалось Фра Лукой Паччоли многим великим людям Ренессанса, включая Леонардо и Брунуллески.

В своей книге «Тайна мира» (Mysterium Cosmographicum) , которая вышла в свет в 1596 г. Иоганн Кеплер предположил, что существует связь между пятью платоновыми телами и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В нее, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера. Расхождение между моделью Кеплера и реальными размерами орбит (порядка нескольких процентов) И. Кеплер объяснял «влиянием материи».

В XX веке платоновы тела были использованы в теории electron shell model Роберта Муна, которая также известна как «теория Муна». Мун заметил, что геометрическое расположение протонов и нейтронов в атомном ядре связано с положением вершин вложенных платоновых тел. Эта концепция была вдохновлена работой И. Кеплера «Mysterium Cosmographicum».

Существует формула Эйлера для многогранников:

F + V = E + 2

В этой формуле F – число граней, V – число вершин, E – число ребер. Эти числовые характеристики для платоновых тел приведены в таблице.

Количественные особенности платоновых тел

Важные соотношения между ребрами, диаметрами вписанных и описанных сфер, площадями и объемами правильных многогранников выражаются через иррациональные числа. В таблице ниже представлено отношение длины ребра к диаметру описанной сферы для каждого из пяти платоновых тел.

Каждый полученный результат есть иррациональное число, которое можно найти только через извлечение квадратного корня. Мы видим, что здесь фигурируют числа, которые являются важными и особенными в сакральной математике.

Геометрия додекаэдра и икосаэдра связана с золотой пропорцией. Действительно, гранями додекаэдра являются пентагоны, т. е. правильные пятиугольники, основанные на золотой пропорции. Если внимательно посмотреть на икосаэдр, то можно увидеть, что в каждой вершине икосаэдра сходится пять треугольников, внешние стороны которых образуют пентагон. Уже этих фактов достаточно, чтобы убедиться в том, что золотая пропорция играет существенную роль в конструкции этих двух платоновых тел. Эти две фигуры являются обратными друг другу: обе состоят из 30 ребер, но, несмотря на это, икосаэдр имеет 20 граней и 12 вершин, а додекаэдр – 12 граней и 20 вершин. Также обратными друг другу являются октаэдр и гексаэдр, и театраэдр сам к себе.

Существуют удивительные геометрические связи между всеми правильными многогранниками . Так, например, куб и октаэдр дуальны, т. е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны икосаэдр и додекаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру, то есть из куба могут быть получены все остальные правильные многогранники.

Роберт Лолор в своей работе показывает, что платоновы тела можно построить исходя из икосаэдра. Он пишет: «Если мы соединим все внутренние вершины икосаэдра, нарисовав три линии из каждой из них, соединяющих каждую вершину с ей противолежащей, и затем из двух верхних вершин проведем четыре линии к двум противоположным, так чтобы эти линии сошлись в центре, мы, действуя в соответствии со сказанным, естественным образом построим ребра додекаэдра. Такое построение происходит автоматически при пересечении внутренних линий икосаэдра. После создания додекаэдра мы можем, просто используя шесть из его вершин и центр, построить куб. Используя диагонали куба, мы можем построить звездообразный или переплетенный тетраэдр. Пересечения звездообразного тетраэдра с кубом дают нам точное местоположение для построения вписанного октаэдра. Затем в самом октаэдре с использованием внутренних линий икосаэдра и вершин октаэдра получается второй икосаэдр. Мы прошли через весь полный цикл, пять этапов от семени к семени. И такие действия представляют собой бесконечную последовательность.

Тетраэдр

Простейшим среди правильных многогранников является тетраэдр. У Платона он соответствует стихии Огня. В физике «огонь» можно соотнести с состоянием плазмы. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников. Его четыре грани – равносторонние треугольники. Четыре – это наименьшее число граней, отделяющих часть трехмерного пространства. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Все многогранные углы тетраэдра равны между собой. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°. Таким образом, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Октаэдр

Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. У Платона он соответствует стихии Воздуха. В физике «воздух» можно соотнести с газообразным состоянием вещества. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Противоположные грани лежат в параллельных плоскостях. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°. Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Икосаэдр

Икосаэдр – одно из пяти платоновых тел, по простоте следующее за тетраэдром и октаэдром. У Платона он соответствует стихии Воды. В физике «воду» можно соотнести с жидким состоянием вещества. Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300°. Таким образом, икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.

Гексаэдр

Гексаэдр или куб составлен из шести квадратов. У Платона он соответствует стихии Земли. В физике «землю» можно соотнести с твёрдым состоянием вещества. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°. Таким образом, куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

Додекаэдр

Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. У Платона он соответствует пятому элементу – Эфиру. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

Правильные многогранники встречаются в живой природе. В начале XX века Эрнст Геккель (Ernst Haeckel ) описал ряд организмов, формы скелета которых подобны различным правильным многогранникам. Например: Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus и Circorrhegma dodecahedra . Формы скелета этих организмов запечатлены в их названиях.

Скелет одноклеточного организма феодарии (Circogoniaicosahedra ) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите.

Многие вирусы, например вирус herpes , имеют форму правильного икосаэдра. Вирусные структуры строятся из повторяемых протеиновых субъединиц, и икосаэдр – самая подходящая форма для воспроизведения этих структур.

Кристаллические решётки многих минералов имеет форму платоновых тел.

Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS ). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. Минерал сильвин имеет кристаллическую решетку в форме куба. Кристаллы пирита имеют форму додекаэдра, а куприт образует кристаллы в форме октаэдров.

Платоновы тела – очень важный объект для изучения, как с точки зрения сакральной математики, так и с точки зрения естественных наук. Платоновы тела проявляются повсюду, начиная от вирусов, многие из которых имеют икосаэдрическую форму и заканчивая сложными макроструктурами, такими, например, как Солнечная система.

Антон Мухин

Из книги Записные книжки автора Чехов Антон Павлович

частью тела. 2 [Арх(иерей) плачет, как в детстве больной, когда его жалела мать; плакал просто от общей душев- ной прострации, толпа плакала. Он веровал, достиг всего, что было [дано (?}] доступно ч(ело- ве)ку в его положении, но все же душа болела: не все было ясно, чего-то еще

Из книги Все под контролем: Кто и как следит за тобой автора Гарфинкель Симеон

Из книги Невообразимое будущее автора Кригер Борис

Заложники собственного тела В состоянии здоровья и благополучия человек напрочь забывает о существовании собственного тела. Его не беспокоят боли и прочие проявления дискомфорта, такие как чувство холода, жары, голода и другие. Однако чувство реальности жизни как раз

Из книги «Матрица» как философия автора Ирвин Уильям

ТЕЛА, УМЫ, ПОЛ «Звезды» «Матрицы» выглядят в соответствии с определенным стандартом. В виртуальном мире их плоть скрыта под похожими друг на друга костюмами из блестящей черной кожи или латекса. «эКзистенЦия» же наполнена плотью, запекшейся и свежей кровью wetware. Такие

Из книги Япония Лики времени. Менталитет и традиции в современном интерьере. автора Прасол Александр Федорович

Глава 17 ВОКРУГ ТЕЛА ДИНАМИКА - ОСОБЕННОСТИ ЯПОНСКИХ ДВИЖЕНИЙ Отличный от европейского климат, рацион питания и образ жизни веками формировали у японцев особенности телосложения и характер движений. В этой области ещё много неизученного, поэтому попробуем разобраться

Из книги Чужие уроки - 2008 автора Голубицкий Сергей Михайлович

ЭСТЕТИКА ОБНАЖЁННОГО ТЕЛА В историческом плане отношение японцев ко многим аспектам внешнего облика человека тоже сильно отличалось от европейского. Это особенно заметно в отношении к обнажённому телу. В европейской культуре обнажение допускается в двух случаях: по

Из книги Литературная Газета 6300 (№ 45 2010) автора Литературная Газета

Язык расслабленного тела Опубликовано в журнале "Бизнес-журнал" №15 от 08 августа 2008 года. Associated Press, 4 июля 2008 года: «Филип Беннет, бывший глава Refco Inc., приговорен к 16 годам тюремного заключения за финансовые махинации, которые привели к крушению одной из крупнейших в мире

Из книги Как победить китайцев автора Маслов Алексей Александрович

Загадки тела Библиоман. Книжная дюжина Загадки тела ЧИТАЮЩАЯ МОСКВА А.А. Каменский, М.В. Маслова, А.В. Граф. Гормоны правят миром: Популярная эндокринология. – М.: АСТ-ПРЕСС, 2010. – 192 с.: ил. – (Наука и мир). – 5000 экз. Сейчас издаётся не так много научно-популярной литературы,

Из книги Критика нечистого разума автора Силаев Александр Юрьевич

Из книги В предвкушении себя. От имиджа к стилю автора Хакамада Ирина Мицуовна

Истинные тела Если лаконично: мало истину знать, надо проживать ее в своем теле. Чтобы тело вело себя истинно. И этому надо учить отдельно, специальные такие предметы-дисциплины. Все же знают, никто не

Из книги Пятое измерение. На границе времени и пространства [сборник] автора Битов Андрей

Глава 4. Одухотворение тела К телу можно относиться по?разному. Его можно обожествить и посвятить ему свою жизнь. Об этом писала в своих воспоминаниях Джейн Фонда. Создав аэробику, она замучила себя диетами и фитнесом, доведя психику до разрушительного состояния. Можно на

Из книги Картины Парижа. Том II автора Мерсье Луи-Себастьен

Тонкие тела (воочию) В 1964 ГОДУ, сразу после снятия, ленинградскому художнику Гаге Ковенчуку приснился Никита Сергеевич. Они встретились в метро. Гага очень обрадовался. «Как же так? – выразил он тут же сочувствие. – Ведь так все хорошо шло!» Никита Сергеевич был краток:

Из книги Масонерия и машинерия (сборник) автора Байков Эдуард Артурович

226. Праздник Тела господня{57} День Тела господня самый торжественный изо всех католических праздников. В этот день Париж чист, весел, безопасен, великолепен. В этот день, видно как много в церквах серебряных вещей, не говоря о золоте и бриллиантах, как роскошны церковные

Из книги Россия. Еще не вечер автора Мухин Юрий Игнатьевич

Культ тела Бодибилдинг (от англ. body – тело и building – строительство, т. е. Body-Building – телостроительство, построение тела), или культуризм (от франц. culturisme – взращивание, наращивание) – это не просто система физических упражнений, способствующих наращиванию мышечной массы и,

Из книги Доктрина шока [Становление капитализма катастроф] автора Кляйн Наоми

Исход Души из тела Думаю, вас уже не удивит, что когда человек находится в состоянии смерти, то организм делает все, чтобы спасти мозг. То есть если тело теряет кровь, то организм (Дух) будет отключать от кровоснабжения все органы и остатки крови гонять только по кругу:

Из книги автора

Шок для тела Сопротивление нарастало, а оккупанты в ответ все больше применяли шок в новой форме. Поздно ночью или ранним утром солдаты вламывались в двери, освещая фонарями темные комнаты, и наполняли дом криками, из которых местные жители могли разобрать лишь несколько

Правильным многоугольником называется ограниченная прямыми плоская фигура с равными сторонами и равными внутренними углами. Ясно, что таких фигур бесконечно много. Аналогом правильного многоугольника в трехмерном пространстве служит правильный многогранник: пространственная фигура с одинаковыми гранями, имеющими форму правильных многоугольников, и одинаковыми многогранными углами при вершинах. На первый взгляд может показаться, что многогранников также бесконечно много, но на самом деле их, как выразился однажды Льюис Кэррол, "вызывающе мало". Существует лишь пять правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр (рис. 90).

Первое систематическое исследование пяти правильных тел было, по-видимому, предпринято еще в глубокой древности пифагорейцами. Согласно их воззрениям, тетраэдр, куб, октаэдр и икосаэдр лежат в основе традиционных четырех элементов: огня, земли, воздуха и воды. Додекаэр пифагорейцы по непонятным соображениям отождествляли со всей вселенной. Поскольку взгляды пифагорейцев подробно изложены в диалоге Платона "Тимей", правильные многогранники принято называть Платоновыми телами. Красота и удивительные математические свойства пяти правильных тел неоднократно привлекали к себе внимание ученых и после Платона. Анализ Платоновых тел является кульминационным пунктом заключительной книги "Элементов" Евклида. Иоганн Кеплер в юности считал, что расстояния между орбитами шести известных в его время планет можно получить, вписывая в определенном порядке пять правильных тел в орбиту Сатурна. В наши дни математики не приписывают Платоновым телам мистических свойств, а изучают свойства симметрии правильных многогранников методами теории групп. Платоновы тела играют заметную роль и в занимательной математике. Рассмотрим, хотя бы бегло, несколько связанных с ними задач.

Существуют четыре различных способа, как разрезать запечатанный конверт и сложить из него тетраэдр. Вот простейший из них. На обеих сторонах конверта у одного и того же края) начертим равносторонний треугольник (рис. 91) и разрежем конверт по пунктирной прямой. Правая его половина нам не нужна, а левую мы перегнем по сторонам нарисованного треугольника (на обеих сторонах конверта) и совместим точки А и В. Тетраэдр готов!

Головоломка, изображенная на рис. 92, также связана с тетраэдром. Развертку, изображенную на рис. 92 слева, можно вырезать из пластика или плотной бумаги. Сделайте две такие развертки. (На чертеже все пунктирные линии, кроме одной, которая заметно длиннее других, имеют одинаковую длину.) Сложим развертку, перегнув ее по указанным на чертеже линиям. Грани, пересекающиеся между собой вдоль ребер, показанных на чертеже сплошной линией, склеим липкой лентой. В результате у нас получится геометрическое тело, показанное на рис. 92 справа. Из двух таких тел нужно попытаться сложить тетраэдр. Один мой знакомый математик любит приставать к своим друзьям с довольно плоской шуткой. Он собирает из двух разверток две модельки, составляет из них тетраэдр и ставит его на стол, а третью развертку незаметно зажимает в руке. Затем ударом руки он расплющивает тетраэдр и в то же время кладет на стол третью развертку. Вполне очевидно, что его друзьям никак не удается собрать тетраэдр из трех блоков.

Из различных занимательных задач, связанных с кубом, я упомяну лишь головоломку с вычислением полного сопротивления электрической цепи, образованной ребрами проволочного куба, и тот удивительный факт, что куб может проходить через отверстие в меньшем кубе. В самом деле, стоит вам взять куб так, чтобы одна из его вершин была направлена прямо на вас, а ребра образовали правильный шестиугольник, как вы увидите, что в сечении, перпендикулярном лучу зрения, есть достаточно места для квадратного отверстия, которое чуть больше грани самого куба. В электрической головоломке речь идет о цепи, изображенной на рис. 93. Сопротивление каждого ребра куба равно одному ому. Чему равно сопротивление всей цепи, если ток течет от А к В? Инженеры-электрики извели немало бумаги, пытаясь решить эту задачу, хотя при надлежащем подходе найти ее решение совсем несложно.

Все пять Платоновых тел использовались в качестве игральных костей. После куба наибольшую популярность приобрели игральные кости в форме октаэдра. Как сделать такую кость, показано на рис. 94. Начертив и вырезав полоску и перенумеровав грани, ее перегибают вдоль ребер, а "открытые" ребра склеивают прозрачной лентой. Получается миниатюрный октаэдр. Сумма очков на противоположных гранях октаэдрической игральной кости, как и у обычной кубической, равна семи. При желании с помощью новой кости вы можете показать забавный фокус с отгадыванием задуманного числа. Попросите кого-нибудь загадать любое число от 0 до 7. Положите октаэдр на стол так, чтобы загадавший мог видеть только грани с цифрами 1, 3, 5 и 7, и спросите, не видит ли он задуманного им числа. Если он отвечает утвердительно, вы запоминаете про себя число 1. Затем вы переворачиваете октаэдр так, чтобы загадавшему были видны грани с цифрами 2, 3, 6 и 7, и снова задаете тот же вопрос. На этот раз утвердительный ответ означает, что вы должны запомнить число 2. В третий (и последний раз) вы повторяете свой вопрос, повернув октаэдр так, чтобы загадавший мог видеть грани с цифрами 4, 5, 6 и 7. Утвердительный ответ в этом случае оценивается числом 4. Сложив оценки всех трех ответов, вы получите задуманное вашим приятелем число. Этот фокус без труда объяснит всякий, кто знаком с двоичной системой счисления. Чтобы легче было отыскать нужные положения октаэдра, как-нибудь пометьте три вершины, которые должны быть обращены к вам, когда вы стоите лицом к зрителю (задумавшему число).

Существуют и другие не менее интересные способы нумерации граней октаэдрической игральной кости. Например, числа от 1 до 8 можно расположить так, что сумма чисел на четырех гранях, сходящихся в общей вершине, будет постоянна. Эта сумма всегда равна 18, однако существует три различных способа нумерации граней (мы не считаем различными кости, которые переходят друг в друга при поворотах и отражениях), удовлетворяющих заданному выше условию.

Изящный способ построения додекаэдра предложен книге Гуго Штейнгауза "Математический калейдоскоп" * . Из плотного картона нужно вырезать две фигуры, показанные на рис. 95. Стороны пятиугольников должны быть около 2,5-3 см. Лезвием ножа осторожно надрежем картон вдоль сторон внутреннего пятиугольника, с тем чтобы развертка легко сгибалась в одну сторону. Подготовив таким же образом вторую развертку, наложим ее на первую так, чтобы выступы второй развертки пришлись против вырезов первой. Придерживая обе развертки рукой, скрепим их резинкой, пропуская ее попеременно то над выступающим концом одной развертки, то под выступающим концом другой. Ослабив давление руки на развертки, вы увидите, как на ваших глазах, словно по волшебству, возникнет додекаэдр.

* (Эта игрушка была приложена лишь к первому изданию книги Г. Штейнгауза . В дальнейших изданиях, в том числе и в русском (1949), ее нет.- Прим. ред. )

Раскрасим модель додекаэдра таким образом, чтобы каждая грань была выкрашена только одним цветом. Чему равно наименьшее число красок, которыми можно раскрасить додекаэдр, если требуется, чтобы любые две смежные грани были разного цвета? Ответ: наименьшее число красок равно четырем. Нетрудно убедиться, что существуют четыре различных способа наиболее экономной раскраски додекаэдра (при этом два раскрашенных додекаэдра будут зеркальными отражениями двух других). Для раскраски тетраэдра также требуется четыре краски, но существует лишь два варианта раскраски, при этом один тетраэдр переходит в другой при зеркальном отражении. Куб можно раскрасить тремя, а октаэдр - двумя красками. Для каждого из этих тел существует лишь один способ наиболее экономной раскраски. Раскрасить икосаэдр можно всего лишь тремя красками, но сделать это можно не менее чем 144 способами. Лишь в 6 из них раскрашенные икосаэдры совпадают со своими зеркальными отражениями.

Рассмотрим еще одну задачу. Предположим, что муха, разгуливая по 12 ребрам икосаэдра, ползает по каждому из них по крайней мере один раз. Каков наименьший путь, который должна проделать муха, чтобы побывать на всех ребрах иксаэдра? Возвращаться в исходную точку не обязательно; некоторые ребра мухе придется пройти дважды (из всех пяти Платоновых тел только октаэдр обладает тем свойством, что его ребра можно обойти, побывав на каждом из них лишь по одному разу). Решению задачи может помочь проекция икосаэдра на плоскость (рис. 96). Только следует иметь в виду, что длина всех ребер одинакова.

Поскольку и поныне встречаются чудаки, все еще пытающиеся найти решение задач о трисекции угла и квадратуре круга, хотя давно уже доказано, что ни то, ни другое невозможно, кажется странным, что никто не предпринимает попыток найти новые правильные многогранники сверх уже известных пяти Платоновых тел. Одна из причин такого парадоксального положения заключается в том, что понять, почему не существует более пяти правильных тел, крайне несложно. Следующее простое доказательство существования не более пяти правильных тел восходит к Евклиду.

Многогранный угол правильного тела должен быть образован по крайней мере тремя гранями. Рассмотрим простейшую из граней: равносторонний треугольник. Многогранный угол можно построить, приложив друг к другу три, четыре или пять таких треугольников. При числе треугольников свыше пяти сумма плоских углов, примыкающих к вершине многогранника, составляет 360° или даже больше, и, следовательно, такие треугольники не могут образовывать многогранный угол. Итак, существует лишь три способа построения правильного выпуклого многогранника с треугольными гранями. Пытаясь построить многогранный угол из квадратных граней, мы убедимся, что это можно сделать лишь из трех граней. Аналогичными рассуждениями нетрудно показать, что в одной вершине правильного многоугольника могут сходиться три и только три пятиугольные грани. Грани не могут иметь форму многоугольников с числом сторон больше 5, так как, приложив, например, друг к другу три шестиугольника, мы получим в сумме угол в 360 0 .

Приведенное только что рассуждение не доказывает возможности построения пяти правильных тел, оно лишь объясняет, почему таких тел не может быть больше пяти. Более тонкие рассуждения заставляют прийти к выводу, что в четырехмерном пространстве имеется лишь шесть правильных политопов (так называются аналоги трехмерных правильных тел). Любопытно отметить, что?в пространстве любого числа измерений, большем 4, существует лишь три правильных политопа: аналоги тетраэдра, куба и октаэдра.

Невольно напрашивается вывод. Математика в значительной мере ограничивает многообразие структур, которые могут существовать в природе. Обитатели далее самой отдаленной галактики не могут играть в кости, имеющие форму неизвестного нам правильного выпуклого многогранника. Некоторые теологи честно признали, что даже сам господь бог не смог бы построить шестое платоново тело в трехмерном пространстве. Точно так же геометрия ставит непреодолимые границы разнообразию структуры кристаллов. Может быть, наступит день, когда физики откроют математические ограничения, которым должно удовлетворять число фундаментальных частиц и основных законов природы. Разумеется, никто сейчас не имеет ни малейшего представления о том, каким образом математика делает невозможной ту или иную структуру, называемую "живой" (если только математика вообще причастна к этому кругу явлений). Вполне допустимо, например, что наличие углеродных соединений является непременным условием возникновения жизни. Как бы то ни было, человечество заранее готовит себя к мысли о возможности существования жизни на других планетах. Платоновы же тела служат напоминанием о том, что на Марсе и Венере может не оказаться многого из того, о чем думают наши мудрецы.

Ответы

Полное сопротивление цепи, образованной ребрами куба (сопротивление каждого ребра 1 ом ) составляет 5 / 6 ома . Соединим накоротко три ближайшие к А вершины куба и проделаем то же самое с тремя вершинами, ближайшими к В. Мы получим две треугольные цепи. Ни в одной из них тока не будет, так как они соединяют эквипотенциальные точки. Нетрудно заметить, что между вершиной А и ближайшей к ней треугольной цепью параллельно включены три сопротивления по 1 ому (общее сопротивление 1 / 3 ома ), между двумя треугольными цепями в параллель соединено 6 сопротивлений по 1 ому (общее сопротивление этого участка цепи 1 / 6 ома ) и между второй треугольной цепью и точкой В имеется 3 параллельно соединенных проводника по 1 ому (то есть всего 1 / 3 ома ). Таким образом, полное сопротивление цепи между точками А и В равно 5 / 6 ома .

И условие задачи, и метод решения нетрудно обобщить на случай цепи, образованной ребрами четырех остальных Платоновых тел.

Перечислим три способа нумерации граней октаэдра, удовлетворяющих условию: сумма чисел на гранях, примыкающих к любой вершине, должна быть равна 18. Числа, встречаемые при обходе (по часовой стрелке или против нее) одной вершины: 6, 7, 2, 3; при обходе противоположной вершины: 1, 4, 5, 8 (6 рядом с 1, 7 рядом с 4 и т. д.); при обходе остальных вершин: 1, 7, 2, 8 и 4, 6, 3, 5; 4, 7, 2, 5 и 6, 1, 8, 3. Простое доказательство того, что октаэдр - единственное из пяти правильных тел, чьи грани можно пронумеровать так, чтобы сумма чисел на гранях, примыкающих к любой вершине, была постоянна, можно найти в книге У. У. Роуза Болла * .

* (W. W. Rouse Ball, Mathematical recreations and essays, London, MacMillan, New York, St. Martin"s Press, 1956, p. 418. )

Кратчайшее расстояние, которое должна преодолеть муха для того, чтобы побывать на всех ребрах икосаэдра, равно 35 единицам (единица - длина ребра икосаэдра). Стерев пять ребер икосаэдра (например, ребра FM, BE, JA, ID и НС на рис. 96), мы получим граф, на котором нечетное число ребер сходится только в двух точках G и К. Поэтому муха может обойти весь этот граф (начав свой путь к точке G и закончив его в точке К), пройдя по каждому ребру лишь один раз. Пройденное мухой расстояние равно 25 единицам. Это самый длинный путь, все участки которого проходятся по одному разу. Если муха на своем пути встречает стертые ребра, мы просто добавляем их к пути из G в К, считая, что муха проходит их дважды (в противоположных направлениях). Пять стертых ребер, проходимых дважды, составляют добавку в 10 единиц к уже пройденному пути. В сумме это и составляет 35 единиц.

Круг деленный на равные части, позволяет нам построить "идеальные" или правильные многоугольники. Полученных правильных многоугольников может быть бесконечно много.
Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник.
Но, многогранников, геометрических тел, получиться бесконечно много не может, так как многогранники, это фигуры, полученные соединениями многоугольников, таким образом, при котором, каждая сторона одного многоугольника является так же и стороной другого многоугольника (называемого смежным). Причем, каждая вершина полученного тела, образует соединения граней многоугольников, обладающих ребрами - сторонами и вершинами.
Многогранников в круге (то есть, объемных геометрических фигур), может получиться только пять. Платон соотнес полученные тела со Стихиями следующим образом.

1. ОГОНЬ - Тетраэдр. Состоит из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180;.
Количество граней – 4, вершин – 4, рёбер - 6
Объем - V= (a;;2)/12.
Площадь поверхности - S= a;;3
С точки зрения астрологии, 180 градусов, это аспект оппозиция. В которой одно начало преобразовывает другое, на свое усмотрение.
Стихии Огонь свойственно проявлять свой потенциал в устоявшуюся среду и достигать поставленных целей. Янская, внешняя стихия проявляет себя внутренним противоречием индивидуальности с целым, Иньскими качествами, свойственными стихии Земля.

2.ВОЗДУХ - Октаэдр. Имеет вид двух совмещенных треугольников, соединенных по основанию. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240;.
Количество граней – 8, вершин – 6, рёбер – 12
Объем - V= (a;;2)/3.
Площадь поверхности - S= 2a;;3
С точки зрения астрологии, 240 градусов, это аспект тригона.
Воздух совершает беспрепятственную экспансию. Быстро или медленно, но без преодоления и преобразования среды, в которую совершает вхождение. Он воспринимается желанно и благоприятно. Янская внешняя стихия, проявляет качества, свойственные стихии Вода.

3. ЗЕМЛЯ - Куб или правильный гексаэдр - правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат.
Куб состоит из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270;.
Количество граней – 6, вершин – 8, рёбер – 12
Объем - V= a;.
Площадь поверхности - S= 6a;
С точки зрения АСТРОЛОГИИ, 270 гр представляет динамичный аспект квадратуры.
Поверхностное противоречие между Стихией и свойством аспекта легко разрешимо, если учитывать, что существует внешний и внутренний уровень. Инь и Ян.
Так - Огонь, обладает стабильным и статичным аспектом. Янская стихия проявляется Иньским образом.
Потенциал Огня столь велик, что после его проявления реальность не может остаться прежней. Ей приходится выстраивать новые центры тяжести, искать новые способы существования и подстраиваться под трансформации, вызванные Огнем.
После проявления Огня, противоречие не устранимо, оно постоянно. Оно не влияет на саму стихию Огонь, только среда, в которой проявляется Стихия, испытывает ее влияние и примеряется к ней, подстраивается под нее. Проявившаяся стихия Огонь, имеет Иньские - длительные следствия.
Проявившаясь стихия Земли, своим устойчивым и статичным потенциалом в силу медленного движения не повреждает среду, но заставляет ее приспосабливаться и искать способы взаимодействия, в которых среда проявляет Янские качества.

4. ПРОСТРАНСТВО (Эфир) - Додекаэдр - двенадцатигранник - правильный многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей и 15 плоскостей симметрии.
Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324;.
Количество граней – 12, вершин – 20, рёбер – 30
Объем - V= a;(15+7;5)/4.
Площадь поверхности - S= 3a;;5(5+2;5)
С точки зрения астрологии, Пространство порождает творческий минорный, дискретный аспект с углом в 36 (72, 144) градусов - Дециль/Полуквинтиль, обладающий природой неожиданной, творческой динамики, оказывающей влияние на среду. Считается, что это аспект "гуманности", соразмеренности и уместности инициатив.
Он тактично встраивает индивидуальное в целое.

5. ВОДА - Икосаэдр - двадцатигранник. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. 30 ребер, 20 граней и 12 вершин. Икосаэдр имеет 59 звездчатых форм.
Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300;.
Количество граней – 20, вершин – 12, рёбер – 30
Объем - V= 5a;(3+;5)/12.
Площадь поверхности - S= 5a;;3
С точки зрения астрологии, это аспект секстиля, отличающийся кратковременным интенсивным взаимодействием среды и индивидуальности.
(Чем короче "ребро", тем длительней взаимодействие, чем больше вершин, тем больше пиков активности.)
Иньская, скрытая, внутренняя Стихия порождает Янский способ взаимодействия на внешнем уровне, качествами проявления более соответсвующий стихии Воздух.

_____________________________
«В тот день, когда наука начнет изучать не только физические явления, она достигнет большего прогресса за одно десятилетие, чем за все предыдущие столетия своего существования.» - Никола Тесла.
Существует множество примеров случайных совпадений.
Но, совпадений не может быть от природы, так как, может случиться только то, что пребывает в резонансе, симметрии, кратности - во взаимодействии.
Числовых "Совпадений" столь много, что становится очевидной их не случайность.
Каждый может найти их самостоятельно, вот несколько примеров данной
занимательной абстракции:

Динамичность взаимодействия Стихий в градусах:
Вода - Огонь 300-180=120;
Воздух - Огонь 270-180=90;
Вода - Воздух 300-240=60;
Вода - Земля 300-270=30;
Воздух- Земля 270-240=30;

Сложим суммы плоских углов полученных многогранников
ОГОНЬ, Тетраэдр 180;
ВОЗДУХ, Октаэдр 240;
ЗЕМЛЯ, Куб 270;
ВОДА, Икосаэдр 300;
Пространство, Додекаэдр 324;
180+240+270+300+324=1314;. Разделим на 360; окружности.
1314:360=3,65
365 дней в году.
Температура человеческого тела 36,5 градусов.
324-180=144
24 часа умножим на 60 минут=1440.
60минут умноженное на 60 секунд =3600, 360 градусов в окружности.
Сложим вершины многоугольников: 4+6+8+12+ 20=50
360:50=72
72 часа в трех сутках.
72 удара в минуту средний пульс здорового взрослого человека.
Угол вращения цепочки ДНК =72.
72 - итог сложения всех букв, вписанных в тетраграммматон.
72 - максимальное число сфер, касающихся одной сферы в плотной упаковке в 6-мерном пространстве.
В исламе и иудаизме есть понятие 72 имени Бога.
72 градуса - внешний угол правильного пятиугольника

Если исключить из расчетов Пространство, то 360:30=12.
12 знаков Зодиака
12 месяцев в году и так далее.

180+240+270+300=990;
990:360=2,75
Средний срок беременности составляет 275 суток.
Нумерология, считает, что число 275 - союз Бога с человеком во имя творчества.

Правильные многогранники можно вписывать друг в друга.
По этому, все Стихии могут проявляться как на внешнем, так и на внутреннем уровне.
Додекаэдр, ПРОСТРАНСТВО, содержит в себе все фигуры.
В куб вписывается тетраэдр - ОГОНЬ, аналогичным образом в тетраэдр вписывается куб.
Стихия Огонь пребывает в недрах планеты Земля, а так же, Огонь может проявляться над Землей в виде света, молний и тепла.
Октаэдр - ВОЗДУХ, может быть вписан в куб, а так же, куб может быть вписан в Октаэдр.
Стихия Воздух содержится в пустых полостях планеты Земля, а так же, вокруг Земли.
В куб можно вписать икосаэдр. Воде свойственно заполнять пустые полости Земли.
В икосаэдр можно вписать додекаэдр и, следовательно, куб и тетраэдр.
Стихия Вода способна связывать между собой все Стихии.
Она пребывает и на поверхности Земли, и в Воздухе, выделяется из Воздуха в процессе горения, так же, она, как и все фигуры способна пребывать в Пространстве, Эфире.