Уравнение пифагора. Способы доказательства теоремы Пифагора
Когда вы только начинали изучать квадратные корни и способы решения иррациональных уравнений (равенств, содержащих неизвестную под знаком корня), вы, вероятно, получили первое представление об их практическом использовании. Умение извлекать квадратный корень из чисел также необходимо для решения задач на применение теоремы Пифагора. Эта теорема связывает длины сторон любого прямоугольного треугольника.
Пусть длины катетов прямоугольного треугольника (тех двух сторон, которые сходятся под прямым углом) будут обозначены буквами и , а длина гипотенузы (самой длинной стороны треугольника, расположенной напротив прямого угла) будет обозначена буквой . Тогда соответствующие длины связаны следующим соотношением:
Данное уравнение позволяет найти длину стороны прямоугольного треугольника в том случае, когда известна длина двух других его сторон. Кроме того, оно позволяет определить, является ли рассматриваемый треугольник прямоугольным, при условии, что длины всех трёх сторон заранее известны.
Решение задач с использованием теоремы Пифагора
Для закрепления материала решим следующие задачи на применение теоремы Пифагора.
Итак, дано:
- Длина одного из катетов равняется 48, гипотенузы – 80.
- Длина катета равняется 84, гипотенузы – 91.
Приступим к решению:
a) Подстановка данных в приведённое выше уравнение даёт следующие результаты:
48 2 + b 2 = 80 2
2304 + b 2 = 6400
b 2 = 4096
b = 64 или b = -64
Поскольку длина стороны треугольника не может быть выражена отрицательным числом, второй вариант автоматически отбрасывается.
Ответ к первому рисунку: b = 64.
b) Длина катета второго треугольника находится тем же способом:
84 2 + b 2 = 91 2
7056 + b 2 = 8281
b 2 = 1225
b = 35 или b = -35
Как и в предыдущем случае, отрицательное решение отбрасывается.
Ответ ко второму рисунку: b = 35
Нам дано:
- Длины меньших сторон треугольника равны 45 и 55 соответственно, большей – 75.
- Длины меньших сторон треугольника равны 28 и 45 соответственно, большей – 53.
Решаем задачу:
a) Необходимо проверить, равна ли сумма квадратов длин меньших сторон данного треугольника квадрату длины большей:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Следовательно, первый треугольник не является прямоугольным.
b) Выполняется та же самая операция:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Следовательно, второй треугольник является прямоугольным.
Сперва найдем длину наибольшего отрезка, образованного точками с координатами (-2, -3) и (5, -2). Для этого используем известную формулу для нахождения расстояния между точками в прямоугольной системе координат:
Аналогично находим длину отрезка, заключенного между точками с координатами (-2, -3) и (2, 1):
Наконец, определяем длину отрезка между точками с координатами (2, 1) и (5, -2):
Поскольку имеет место равенство:
то соответствующий треугольник является прямоугольным.
Таким образом, можно сформулировать ответ к задаче: поскольку сумма квадратов сторон с наименьшей длиной равняется квадрату стороны с наибольшей длиной, точки являются вершинами прямоугольного треугольника.
Основание (расположенное строго горизонтально), косяк (расположенный строго вертикально) и трос (протянутый по диагонали) формируют прямоугольный треугольник, соответственно, для нахождения длины троса может использоваться теорема Пифагора:
Таким образом, длина троса будет составлять приблизительно 3,6 метра.
Дано: расстояние от точки R до точки P (катет треугольника) равняется 24, от точки R до точки Q (гипотенуза) – 26.
Итак, помогаем Вите решить задачу. Поскольку стороны треугольника, изображённого на рисунке, предположительно образуют прямоугольный треугольник, для нахождения длины третьей стороны можно использовать теорему Пифагора:
Итак, ширина пруда составляет 10 метров.
Сергей Валерьевич
Теорема Пифагора - важнейшее утверждение геометрии. Теорема формулируется так: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.
Обычно открытие этого утверждения приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI в. до н.э.). Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей (копий еще более древних манускриптов) показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора, возможно, за тысячелетие до него. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.
Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников. Достаточно взглянуть на мозаику из черных и светлых треугольников, изображенную на рис. 1, чтобы убедиться в справедливости теоремы для треугольника : квадрат, построенный на гипотенузе, содержит 4 треугольника, а на каждом катете построен квадрат, содержащий 2 треугольника. Для доказательства общего случая в Древней Индии располагали двумя способами: в квадрате со стороной изображали четыре прямоугольных треугольника с катетами длин и (рис. 2,а и 2,б), после чего писали одно слово «Смотри!». И действительно, взглянув на эти рисунки, видим, что слева свободна от треугольников фигура, состоящая из двух квадратов со сторонами и , соответственно ее площадь равна , а справа - квадрат со стороной - его площадь равна . Значит, , что и составляет утверждение теоремы Пифагора.
Однако в течение двух тысячелетий применяли не это наглядное доказательство, а более сложное доказательство, придуманное Евклидом, которое помещено в его знаменитой книге «Начала» (см. Евклид и его «Начала»), Евклид опускал высоту из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что ее продолжение делит построенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах (рис. 3). Чертеж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.
В наши дни известно несколько десятков различных доказательств теоремы Пифагора. Одни из них основаны на разбиении квадратов, при котором квадрат, построенный на гипотенузе, состоит из частей, входящих в разбиения квадратов, построенных на катетах; другие - на дополнении до равных фигур; третьи - на том, что высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит прямоугольный треугольник на два подобных ему треугольника.
Теорема Пифагора лежит в основе большинства геометрических вычислений. Еще в Древнем Вавилоне с ее помощью вычисляли длину высоты равнобедренного треугольника по длинам основания и боковой стороны, стрелку сегмента по диаметру окружности и длине хорды, устанавливали соотношения между элементами некоторых правильных многоугольников. С помощью теоремы Пифагора доказывается ее обобщение, позволяющее вычислить длину стороны, лежащей против острого или тупого угла:
Из
этого обобщения следует, что наличие прямого угла в является не только достаточным, но и
необходимым условием для выполнения равенства . Из формулы (1) следует соотношение между длинами
диагоналей и сторон параллелограмма, с помощью которого легко найти длину
медианы треугольника по длинам его сторон.
На основании теоремы Пифагора выводится и формула, выражающая площадь любого треугольника через длины его сторон (см. Герона формула). Разумеется, теорему Пифагора применяли и для решения разнообразных практических задач.
Вместо квадратов на сторонах прямоугольного треугольника можно строить любые подобные между собой фигуры (равносторонние треугольники, полукруги и т.д.). При этом площадь фигуры, построенной на гипотенузе, равна сумме площадей фигур, построенных на катетах. Другое обобщение связано с переходом от плоскости к пространству. Оно формулируется так: квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений (длины, ширины и высоты). Аналогичная теорема верна и в многомерном и даже бесконечномерном случаях.
Теорема Пифагора существует только в евклидовой геометрии. Ни в геометрии Лобачевского, ни в других неевклидовых геометриях она не имеет места. Не имеет места аналог теоремы Пифагора и на сфере. Два меридиана, образующие угол 90°, и экватор ограничивают на сфере равносторонний сферический треугольник, все три угла которого прямые. Для него , а не , как на плоскости.
С помощью теоремы Пифагора вычисляют расстояние между точками и координатной плоскости по формуле
.
После того как была открыта теорема Пифагора, возник вопрос, как отыскать все тройки натуральных чисел, которые могут быть сторонами прямоугольных треугольников (см. Ферма великая теорема). Они были открыты еще пифагорейцами, но какие-то общие методы отыскания таких троек чисел были известны еще вавилонянам. Одна из клинописных табличек содержит 15 троек. Среди них есть тройки, состоящие из настолько больших чисел, что не может быть и речи о нахождении их путем подбора.
ГИППОКРАТОВЫ ЛУНОЧКИ
Гиппократовы луночки - фигуры, ограниченные дугами двух окружностей, и притом такие, что по радиусам и длине общей хорды этих окружностей с помощью циркуля и линейки можно построить равновеликие им квадраты.
Из обобщения теоремы Пифагора на полукруги следует, что сумма площадей розовых луночек, изображенных на рисунке слева, равна площади голубого треугольника. Поэтому, если взять равнобедренный прямоугольный треугольник, то получатся две луночки, площадь каждой из которых будет равна половине площади треугольника. Пытаясь рещить задачу о квадратуре круга (см. Классические задачи древности), древнегреческий математик Гиппократ (V в. до н.э.) нашел еще несколько луночек, площади которых выражены через площади прямолинейных фигур.
Полный перечень гиппокраювых луночек был получен лишь в XIX-XX вв. благодаря использованию методов теории Галуа.
Теорема Пифагора – фундаментальная теорема евклидовой геометрии, которая постулирует соотношение катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника. Это, пожалуй, самая популярная теорема в мире, известная каждому со школьной скамьи.
История теоремы
На самом деле, теория о соотношении сторон прямоугольного треугольника была известна задолго до Пифагора с острова Самос. Так, задачи о соотношении сторон встречаются в древних текстах периода правления вавилонского царя Хаммурапи, то есть за 1500 лет до рождения самосского математика. Заметки о сторонах треугольника зафиксированы не только в Вавилоне, но и Древних Египте и Китае. Одно из самых известных целочисленных соотношений катетов и гипотенузы выглядит как 3, 4 и 5. Эти числа использовались древними землемерами и зодчими для построения прямых углов.
Итак, Пифагор не изобретал теорему о соотношении катетов и гипотенузы. Он первым в истории доказал ее. Однако на этот счет существуют сомнения, так как доказательство самосского математика, если оно и было зафиксировано, утеряно в веках. Существует мнение, что доказательство теоремы, приведенное в «Началах» Евклида, принадлежит именно Пифагору. Впрочем, на этот счет у историков математики большие сомнения.
Пифагор был первым, но после него теорему о сторонах прямоугольного треугольника доказали около 400 раз, используя самые разные методики: от классической геометрии до дифференциального исчисления. Теорема Пифагора всегда занимала пытливые умы, поэтому среди авторов доказательств можно вспомнить , и президента США Джеймса Гарфилда.
Доказательства
В математической литературе зафиксировано не менее четырех сотен доказательств теоремы Пифагора. Такое умопомрачительное количество объясняется фундаментальным значением теоремы для науки и элементарностью результата. В основном пифагорова теорема доказывается геометрическими способами, наиболее популярными из которых являются метод площадей и метод подобий.
Самым простым методом доказательства теоремы, не требующим обязательных геометрических построений, является метод площадей. Пифагор заявил, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
Попробуем доказать это смелое утверждение. Мы знаем, что площадь любой фигуры определяется при помощи возведения линейного сегмента в квадрат. Линейным сегментом может быть что угодно, но чаще всего это сторона фигуры или ее радиус. В зависимости от выбора сегмента и типа геометрической фигуры квадрат будет иметь различные коэффициенты:
- единицу в случае с квадратом – S = a 2 ;
- приблизительно 0,43 в случае с равносторонним треугольником – S = (sqrt(3)/4)a 2 ;
- Пи в случае с кругом – S = pi × R 2 .
Таким образом, площадь любого треугольника мы можем выразить в виде S = F × a 2 , где F – некоторый коэффициент.
Прямоугольный треугольник – удивительная фигура, которую легко разделить на два подобных прямоугольных треугольника, всего лишь опустив перпендикуляр из любой вершины. Такое разделение превращает прямоугольный треугольник в сумму двух прямоугольных треугольников поменьше. Так как треугольники подобны, их площади вычисляются по одной и той же формуле, которая выглядит как:
S = F × гипотенуза 2
В результате разделения большого треугольника со сторонами a, b и c (гипотенуза) получились три треугольника, причем у меньших фигур гипотенузами оказались стороны изначального треугольника a и b. Таким образом, площади подобных треугольников вычисляются как:
- S1 = F × c 2 – исходный треугольник;
- S2 = F × a 2 – первый подобный треугольник;
- S3 = F × b 2 – второй подобный треугольник.
Очевидно, что площадь большого треугольника равна сумме площадей подобных:
F × c 2 = F × a2 + F × b 2
Коэффициент F легко сократить. В итоге получаем:
c 2 = a 2 + b 2 ,
что и требовалось доказать.
Пифагоровы тройки
Выше уже упоминалось популярное соотношение катетов и гипотенуз как 3, 4 и 5. Пифагоровы тройки – это набор трех взаимно простых чисел, которые удовлетворяют условию a 2 + b 2 = c 2 . Таких комбинаций существует бесконечное количество, а первые из них использовались еще в древности для построения прямых углов. Завязывая определенное количество узлов на бечевке через равные промежутки и складывая ее в виде треугольника, древние ученые получали прямой угол. Для этого на каждой стороне треугольника требовалось завязать узлы, в количестве, соответствующем пифагоровым тройкам:
- 3, 4, и 5;
- 5, 12 и 13;
- 7, 24 и 25;
- 8, 15 и 17.
При этом любую пифагорову тройку можно увеличить в целое количество раз и получить пропорциональное соотношение, соответствующее условию теоремы Пифагора. К примеру, из тройки 5, 12, 13 можно получить значения сторон 10, 24, 26 простым умножением на 2. Сегодня пифагоровы тройки используются для быстрого решения геометрических задач.
Применение теоремы Пифагора
Теорема самосского математика используется не только в школьной геометрии. Пифагорова теорема находит применение в архитектуре, астрономии, физике, литературе, информационных технологиях и даже в оценке эффективности социальных сетей. Теорема применяется и в реальной жизни.
Выбор пиццы
В пиццериях перед покупателями часто возникает вопрос: взять одну большую пиццу или две поменьше? Допустим, можно купить одну пиццу диаметром 50 см или две пиццы поменьше, диаметром 30 см. На первый взгляд две пиццы поменьше – это больше и выгоднее, но не тут-то было. Как быстро сравнить площади приглянувшихся пицц?
Мы помним теорему самосского математика и пифагоровы тройки. Площадь круга – это квадрат диаметра с коэффициентом F = pi/4. А первая пифагорова тройка – это 3, 4 и 5, которую мы легко можем превратить в тройку 30, 40, 50. Следовательно 50 2 = 30 2 + 40 2 . Очевидно, что площадь пиццы с диаметром 50 см будет больше, чем сумма пицц с диаметрами по 30 см. Казалось бы, что теорема применима только в геометрии и только для треугольников, но на этом примере видно, что соотношение c 2 = a 2 + b 2 можно применять и для сравнения других фигур и их характеристик.
Наш онлайн-калькулятор позволяет вычислять любые значения, удовлетворяющие фундаментальному уравнению о сумме квадратов. Для расчета достаточно ввести 2 любых значения, после чего программа вычислит недостающее коэффициент. Калькулятор оперирует не только целыми, но и дробным значениями, поэтому для вычислений разрешается использовать любые числа, а не только пифагоровы тройки.
Заключение
Теорема Пифагора – фундаментальная вещь, которая находит широкое применение во многих научных приложениях. Используйте наш онлайн-калькулятор для подсчета величин значений, которые связаны выражением c 2 = a 2 + b 2 .
Различные способы доказательства теоремы Пифагора
учащаяся 9 «А» класса
МОУ СОШ №8
Научный руководитель:
учитель математики,
МОУ СОШ №8
ст. Новорождественской
Краснодарского края.
Ст. Новорождественская
АННОТАЦИЯ.
Теорема Пифагора по праву считается самой важной в курсе геометрии и заслуживает пристального внимания. Она является основой решения множества геометрических задач, базой для изучения теоретического и практического курса геометрии в дальнейшем. Теорема окружена богатейшим историческим материалом, связанным с её появлением и способами доказательства. Изучение истории развития геометрии прививает любовь к данному предмету, способствует развитию познавательного интереса, общей культуры и творчества, а так же развивает навыки научно-исследовательской работы .
В результате поисковой деятельности была достигнута цель работы, заключающаяся в пополнении и обобщении знаний по доказательству теоремы Пифагора. Удалось найти и рассмотреть различные способы доказательства и углубить знания по теме, выйдя за страницы школьного учебника.
Собранный материал ещё больше убеждает в том, что теорема Пифагора является великой теоремой геометрии, имеет огромное теоретическое и практическое значение.
Введение. Историческая справка 5 Основная часть 8
3. Заключение 19
4. Используемая литература 20
1. ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА.
Суть истины вся в том, что нам она - навечно,
Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.
На радостях богам был Пифагором дан обет:
За то, что мудрости коснулся бесконечной,
Он сто быков заклал, благодаря предвечных;
Моленья и хвалы вознес он жертве вслед.
С тех пор быки, когда учуят, тужась,
Что к новой истине людей опять подводит след,
Ревут остервенело, так что слушать мочи нет,
Такой в них Пифагор вселил навеки ужас.
Быкам, бессильным новой правде противостоять,
Что остается? - Лишь глаза закрыв, реветь, дрожать.
Неизвестно, каким способом доказывал Пифагор свою теорему. Несомненно лишь то, что он открыл ее под сильным влиянием египетской науки. Частный случай теоремы Пифагора - свойства треугольника со сторонами 3, 4 и 5 - был известен строителям пирамид задолго до рождения Пифагора, сам же он более 20 лет обучался у египетских жрецов. Сохранилась легенда, которая гласит, что, доказав свою знаменитую теорему, Пифагор принес богам в жертву быка, а по другим источникам, даже 100 быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он «запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы». Пифагор питался только медом, хлебом, овощами и изредка рыбой. В связи со всем этим более правдоподобной можно считать следующую запись: «...и даже когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста».
Популярность теоремы Пифагора столь велика, что ее доказательства встречаются даже в художественной литературе , например, в рассказе известного английского писателя Хаксли «Юный Архимед». Такое же Доказательство, но для частного случая равнобедренного прямоугольного треугольника приводится в диалоге Платона «Менон».
Сказка «Дом».
«Далеко-далеко, куда не летают даже самолеты, находится страна Геометрия. В этой необычной стране был один удивительный город - город Теорем. Однажды в этот город пришла красивая девочка по имени Гипотенуза. Она попробовала снять комнату, но куда бы она ни обращалась, ей всюду отказывали. Наконец она подошла к покосившемуся домику и постучала. Ей открыл мужчина, назвавший себя Прямым Углом, и он предложил Гипотенузе поселиться у него. Гипотенуза осталась в доме, в котором жили Прямой Угол и два его маленьких сына по имени Катеты. С тех пор жизнь в доме Прямого Угла пошла по-новому. На окошке гипотенуза посадила цветы, а в палисаднике развела красные розы. Дом принял форму прямоугольного треугольника. Обоим катетам Гипотенуза очень понравилась и они попросили ее остаться навсегда в их доме. Ло вечерам эта дружная семья собирается за семейным столом. Иногда Прямой Угол играет со своими детишками в прятки. Чаще всего искать приходится ему, а Гипотенуза прячется так искусно, что найти ее бывает очень трудно. Однажды во время игры Прямой Угол подметил интересное свойство: если ему удается найти катеты, то отыскать Гипотенузу не составляет труда. Так Прямой Угол пользуется этой закономерностью, надо сказать, очень успешно. На свойстве этого прямоугольного треугольника и основана теорема Пифагора.»
(Из книги А. Окунева «Спасибо за урок, дети»).
Шутливая формулировка теоремы:
Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим –
И таким простым путем
К результату мы придем.
Изучая алгебру и начала анализа и геометрию в 10 классе , я убедилась в том, что кроме рассмотренного в 8 классе способа доказательства теоремы Пифагора существуют и другие способы доказательства. Представляю их на ваше обозрение.
2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.
Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
1 СПОСОБ.
Пользуясь свойствами площадей многоугольников, установим замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.
Доказательство.
а, в
и гипотенузой с
(рис.1, а).
Докажем, что с²=а²+в² .
Доказательство.
Достроим треугольник до квадрата со стороной а + в так, как показано на рис. 1, б. Площадь S этого квадрата равна (а + в)² . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ½ав , и квадрата со стороной с, поэтому S= 4 * ½ав + с ² = 2ав + с ².
Таким образом,
(а + в )² = 2ав + с ²,
с²=а²+в² .
Теорема доказана.
2 СПОСОБ.
После изучения темы «Подобные треугольники» я выяснила, что можно применить подобие треугольников к доказательству теоремы Пифагора. А именно, я воспользовалась утверждением о том, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом С, СD– высота (рис. 2). Докажем, что АС
² +СВ
² = АВ
²
.
Доказательство.
На основании утверждения о катете прямоугольного треугольника:
АС = , СВ = .
Возведем в квадрат и сложим полученные равенства:
АС² = АВ * АD, СВ² = АВ * DВ;
АС² + СВ² = АВ * (АD + DВ), где АD+DB=AB, тогда
АС² + СВ² = АВ * АВ,
АС² + СВ² = АВ².
Доказательство закончено.
3 СПОСОБ.
К доказательству теоремы Пифагора можно применить определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Рассмотрим рис. 3.
Доказательство:
Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СD из вершины прямого угла С.
По определению косинуса угла:
cos А = АD/АС = АС/АВ. Отсюда АВ * АD = АС²
Аналогично,
cos В = ВD/ВС = ВС/АВ.
Отсюда АВ * ВD = ВС² .
Складывая полученные равенства почленно и замечая, что АD + DВ = АВ, получим:
АС ² + ВС ² = АВ (АD + DВ) = АВ ²
Доказательство закончено.
4 СПОСОБ.
Изучив тему «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника», я думаю, что теорему Пифагора можно доказать ещё одним способом.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, в и гипотенузой с . (рис. 4).
Докажем, что с²=а²+в².
Доказательство.
sinВ= в/с ; cosВ= a/с, то, возведя в квадрат полученные равенства, получим:
sin²В= в²/с²; cos²В = а²/с².
Сложив их, получим:
sin²В + cos²В= в²/с²+ а²/с², где sin²В + cos²В=1,
1= (в²+ а²) / с², следовательно,
с²= а² + в².
Доказательство закончено.
5 СПОСОБ.
Данное доказательство основано на разрезании квадратов, построенных на катетах (рис. 5), и укладывании полученных частей на квадрате, построенном на гипотенузе.
6 СПОСОБ.
Для доказательства на катете ВС строим BCD ABC (рис.6). Мы знаем, что площади подобных фигур относятся как квадраты их сходственных линейных размеров:
Вычитая из первого равенства второе, получим
с2 = а2 + b2.
Доказательство закончено.
7 СПОСОБ.
Дано (рис. 7):
ABС, = 90°, ВС = а, АС= b, АВ = с.
Доказать: с2 = а2 + b2 .
Доказательство.
Пусть катет b а. Продолжим отрезок СВ за точку В и построим треугольник BMD так, чтобы точки М и А лежали по одну сторону от прямой CD и, кроме того, BD = b, BDM = 90°, DM = a, тогда BMD = ABC по двум сторонам и углу между ними. Точки А и М соединим отрезками AM. Имеем MD CD и AC CD, значит, прямая АС параллельна прямой MD. Так как MD < АС, то прямые CD и AM не параллельны. Следовательно, AMDC - прямоугольная трапеция.
В прямоугольных треугольниках ABC и BMD 1 + 2 = 90° и 3 + 4 = 90°, но так как = =, то 3 + 2 = 90°; тогда АВМ =180° - 90° = 90°. Оказалось, что трапеция AMDC разбита на три неперекрывающихся прямоугольных треугольника, тогда по аксиомам площадей
(a+b)(a+b)
Разделив все члены неравенства на , получим
а b + с2 + а b = (а + b) , 2 ab + с2 = а2 + 2а b + b2,
с2 = а2 + b2.
Доказательство закончено.
8 СПОСОБ.
Данный способ основывается на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника ABC. Он строит соответствующие квадраты и доказывает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах (рис. 8).
Доказательство.
1) DBC = FBA = 90°;
DBC + ABC = FBA + ABC, значит, FBC = DBA.
Таким образом, FBC =ABD (по двум сторонам и углу между ними).
2) ,
где AL DE, так как BD - общее основание, DL -
общая высота.
3) , так как FB –снование, АВ
- общая высота.
4)
5) Аналогично можно доказать, что
6) Складывая почленно, получаем:
, ВС2
= АВ2 + АС2
.
Доказательство закончено.
9 СПОСОБ.
Доказательство.
1) Пусть ABDE - квадрат (рис. 9), сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника ABC (АВ = с, ВС = а, АС = b).
2) Пусть DK BC и DK = ВС, так как 1 + 2 = 90° (как острые углы прямоугольного треугольника), 3 + 2 = 90° (как угол квадрата), АВ = BD (стороны квадрата).
Значит, ABC = BDK (по гипотенузе и острому углу).
3)Пусть EL DK, AM EL. Можно легко доказать, что ABC = BDK =DEL = ЕАМ (с катетами а и b). Тогда КС = СМ = ML = LK = а - b.
4) SKB = 4S + SKLMC = 2ab + (a - b), с 2 = 2ab + a2 - 2ab + b2, c2 = a2 + b2 .
Доказательство закончено.
10 СПОСОБ.
Доказательство может быть проведено на фигуре, в шутке называемой «Пифагоровы штаны» (рис. 10). Идея его состоит в преобразовании квадратов, построенных на катетах, в равновеликие треугольники, составляющие вместе квадрат гипотенузы.
ABC сдвигаем, как показано стрелкой, и он занимает положение KDN. Оставшаяся часть фигуры AKDCB равновелика площади квадрата AKDC – это параллелограмм AKNB.
Сделана модель параллелограмма AKNB
. Параллелограмм перекладываем так, как зарисовано в содержании работы. Чтобы показать преобразование параллелограмма в равновеликий треугольник, на глазах учащихся отрезаем на модели треугольник и перекладываем его вниз. Таким образом, площадь квадрата AKDC
получилась равна площади прямоугольника. Аналогично преобразуем площадь квадрата в площадь прямоугольника.
Произведем преобразование для квадрата, построенного на катете а (рис. 11,а):
а) квадрат преобразуется в равновеликий параллелограмм (рис. 11,6):
б) параллелограмм поворачивается на четверть оборота (рис. 12):
в) параллелограмм преобразуется в равновеликий прямоугольник (рис. 13): 11 СПОСОБ.
Доказательство:
PCL – прямая (Рис. 14);
KLOA = ACPF = ACED = а2;
LGBO = СВМР = CBNQ = b2;
AKGB = AKLO + LGBO = с2;
с2 = а2 + b2.
Доказательство окончено.
12 СПОСОБ.
Рис. 15 иллюстрирует еще одно оригинальное доказательство теоремы Пифагора.
Здесь: треугольник ABC с прямым углом С; отрезок BF перпендикулярен СВ и равен ему, отрезок BE перпендикулярен АВ и равен ему, отрезок AD перпендикулярен АС и равен ему; точки F, С, D принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB и АСВЕ равновелики, так как ABF = ЕСВ; треугольники ADF и АСЕ равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим
, с2 = а2 +
b2.
Доказательство закончено.
13 СПОСОБ.
Площадь данного прямоугольного треугольника, с одной стороны, равна ,
с другой, ,
3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
В результате поисковой деятельности была достигнута цель работы, заключающаяся в пополнении и обобщении знаний по доказательству теоремы Пифагора. Удалось найти и рассмотреть различные способы её доказательства и углубить знания по теме, выйдя за страницы школьного учебника.
Собранный мною материал ещё больше убеждает в том, что теорема Пифагора является великой теоремой геометрии, имеет огромное теоретическое и практическое значение. В завершении хотелось бы сказать: причина популярности теоремы Пифагора триедина - это красота, простота и значимость!
4. ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.
1. Занимательная алгебра. . Москва «Наука», 1978.
2. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября», 24/2001.
3. Геометрия 7-9. и др.
4. Геометрия 7-9. и др.
Теорема Пифагора