Квадратичные формы.Знакоопределённость форм. Критерий Сильвестра. Квадратичные формы и квадрики
Определение.Квадратичной формой
, соответствующей симметричной билинейной форме на линейном пространстве V
, называется функция одного векторного аргумента .
Пусть задана квадратичная форма , – соответствующая ей симметричная билинейная форма. Тогда
откуда вытекает, что по квадратичной форме соответствующая ей симметричная билинейная форма тоже определяется однозначно. Итак, между симметричными билинейными и квадратичными формами на линейном пространстве V устанавливается взаимно однозначное соответствие, поэтому квадратичные формы можно изучать с помощью симметричных билинейных форм.
Рассмотрим n -мерное линейное пространство . Матрицей квадратичной формы в заданном базисе линейного пространства называется матрица соответствующей ей симметричной билинейной формы в том же базисе. Матрица квадратичной формы всегда симметрична.
Обозначим матрицу квадратичной формы в некотором базисе пространства . Если, как обычно, обозначить Х координатный столбец вектора в том же базисе, то из равенства 5.5 получаем матричную форма записи квадратичной формы:
.
Теорема 5.4. Пусть в линейном пространстве заданы два базиса
(5.10)
, (5.11)
и пусть и – матрицы квадратичной формы в базисах (5.10) и (5.11) соответственно. Тогда , где Т – матрица перехода от (5.10) к (5.11).
Доказательство вытекает из теоремы 5.2 и определения матрицы квадратичной формы.
В связи с тем, что матрица перехода Т является невырожденной, то при переходе к новому базису ранг матрицы квадратичной формы не меняется. Поэтому можно сформулировать следующее определение.
Определение . Рангом квадратичной формы, заданной на линейном пространстве , называется ранг ее матрицы в некотором, а значит, и в любом базисе пространства (обозначается ).
Теперь запишем квадратичную форму в координатном виде. Для этого вектор разложим по базису (5.10): . Если – матрица квадратичной формы в том же базисе, то в соответствии с равенством (5.4)имеем
– (5.12)
координатная форма записи квадратичной формы. Распишем (5.12) подробно при n = 3, учитывая, что
Итак, если в задан базис, то квадратичная форма в координатной записи выглядит как однородный многочлен второй степени от n переменных – координат вектора в данном базисе. Этот многочлен называется видом квадратичной формы в заданном базисе. Но в приложениях часто такие многочлены возникают самостоятельно, без видимой связи с линейными пространствами (например, вторые дифференциалы функций), поэтому мы сформулируем еще одно определение квадратичной формы.
Определение
. Квадратичной формой от n
переменных называется однородный многочлен второй степени от этих переменных, т. е. функция вида (5.12). Матрицей квадратичной формы (5.12) называется симметричная матрица .
Пример составления матрицы квадратичной формы. Пусть
Из (5.12) и (5.13) видно, что коэффициент при совпадает с , т.е. диагональные элементы матрицы квадратичной формы – это коэффициенты при квадратах. Точно так же видим, что – половина коэффициента при произведении . Таким образом, матрица квадратичной формы (5.14) выглядит так:
.
Выберем теперь в пространстве опять два базиса (5.10) и (5.11) и обозначим, как обычно, – координатные столбцы вектора в базисах (5.10) и (5.11) соответственно. При переходе от базиса (5.10) к базису (5.11) координаты вектора меняются по закону:
где - матрица перехода от (5.10) к (5.11). Заметим, что матрица – невырожденная. Запишем равенство (5.15) в координатной форме:
или подробно:
(5.17)
С помощью равенства (5.17) (или (5.16), что одно и то же) от переменных переходим к переменным .
Определение . Линейным невырожденным преобразованием переменных называется преобразование переменных, заданное системой равенств (5.16) или (5.17), или одним матричным равенством (5.15), при условии, что – невырожденная матрица. Матрица Т называется матрицей этого преобразования переменных.
Если в (5.12) вместо переменных подставить их выражения через переменные по формулам (5.17), раскрыть скобки и привести подобные, то получим другой однородный многочлен второй степени:
.
В этом случае говорят, что линейное невырожденное преобразование переменных (5.17) переводит квадратичную форму в квадратичную форму . Значения переменных и , связанные соотношением (5.15) (или соотношениями (5.16) либо (5.17)), будем называть соответствующими при заданном линейном невырожденном преобразовании переменных.
Определение. Набор переменных называется нетривиальным , если в нем значение хотя бы одной из переменных отлично от нуля. В противном случае набор переменных называется тривиальным .
Лемма 5.2. При линейном невырожденном преобразовании переменных тривиальному набору переменных соответствует тривиальный набор.
Из равенства (5.15), очевидно, вытекает: если , то и . С другой стороны, используя невырожденность матрицы Т , опять же из (5.15) получаем , откуда видно, что при , также и .◄
Следствие. При линейном невырожденном преобразовании переменных нетривиальному набору переменных соответствует нетривиальный набор.
Теорема 5.5.
Если линейное невырожденное преобразование (5.15) переводит квадратичную форму с матрицей А
в квадратичную форму
с матрицей А"
, то (другая формулировка теоремы 5.4).
Следствие. При линейном невырожденном преобразовании переменных определитель матрицы квадратичной формы не меняет знака.
Замечание. В отличие от матрицы перехода и матрицы линейного оператора, матрица линейного невырожденного преобразования переменных пишется не по столбцам, а по строкам.
Пусть заданы два линейных невырожденных преобразования переменных:
Применим их последовательно:
Композицией линейных невырожденных преобразований переменных (5.18) и (5.19) называется их последовательное применение, т. е. преобразование переменных Из (5.20) видно, что композиция двух линейных невырожденных преобразований переменных также является линейным невырожденным преобразованием переменных.
Определение. Квадратичные формы называются эквивалентными , если существует линейное невырожденное преобразование переменных, переводящее одну из них в другую.
Квадратичные формы
Квадратичной формой f(х 1 , х 2 ,...,х n) от n переменных называют сумму, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятым с некоторым коэффициентом: f(х 1 , х 2 ,...,х n) = (a ij = a ji).
Матрицу А, составленную из этих коэффициентов, называют матрицей квадратичной формы. Это всегда симметрическая матрица (т.е. матрица, симметричная относительно главной диагонали, a ij = a ji).
В матричной записи квадратичная форма имеет вид f(Х) = Х Т AX, где
В самом деле
Например, запишем в матричном виде квадратичную форму .
Для этого найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, а остальные элементы - половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому
Пусть матрица-столбец переменных X получена невырожденным линейным преобразовании матрицы-столбца Y, т.е. X = CY, где С - невырожденная матрица n-го порядка. Тогда квадратичная форма
f(X) = Х T АХ = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.
Таким образом, при невырожденном линейном преобразовании С матрица квадратичной формы принимает вид: А * = C T AC.
Например, найдем квадратичную форму f(y 1 , y 2), полученную из квадратичной формы f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 линейным преобразованием .
Квадратичная форма называется канонической
(имеет канонический вид
), если все ее коэффициенты a ij = 0 при i ≠ j, т.е.
f(х 1 , х 2 ,...,х n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .
Ее матрица является диагональной.
Теорема (доказательство здесь не приводится). Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования.
Например, приведем к каноническому виду квадратичную форму
f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 .
Для этого вначале выделим полный квадрат при переменной х 1:
f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 2 + 2х 1 х 2 + х 2 2) - 2х 2 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = 2(x 1 + х 2) 2 - 5х 2 2 – х 2 х 3 .
Теперь выделяем полный квадрат при переменной х 2:
f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 2 – 2* х 2 *(1/10)х 3 + (1/100)х 3 2) - (5/100)х 3 2 =
= 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 – (1/10)х 3) 2 - (1/20)х 3 2 .
Тогда невырожденное линейное преобразование y 1 = x 1 + х 2 , y 2 = х 2 – (1/10)х 3 и y 3 = x 3 приводит данную квадратичную форму к каноническому виду f(y 1 , y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .
Отметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно (одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду разными способами). Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. В частности, число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду (например, в рассмотренном примере всегда будет два отрицательных и один положительный коэффициент). Это свойство называют законом инерции квадратичных форм .
Убедимся в этом, по-другому приведя ту же квадратичную форму к каноническому виду. Начнем преобразование с переменной х 2:
f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = -3х 2 2 – х 2 х 3 + 4х 1 х 2 + 2x 1 2 = -3(х 2 2 –
- 2* х 2 ((1/6) х 3 + (2/3)х 1) +((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2) – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(х 2 – (1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 = f(y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2 , где y 1 = - (2/3)х 1 + х 2 – (1/6) х 3 , y 2 = (2/3)х 1 + (1/6) х 3 и y 3 = x 1 . Здесь положительный коэффициент 2 при y 3 и два отрицательных коэффициента (-3) при y 1 и y 2 (а при использовании другого способа мы получили положительный коэффициент 2 при y 1 и два отрицательных – (-5) при y 2 и (-1/20) при y 3).
Также следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы , равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.
Квадратичную форму f(X) называют положительно
(отрицательно
) определенной
, если при всех значениях переменных, не равных одновременно нулю, она положительна, т.е. f(X) > 0 (отрицательна, т.е.
f(X) < 0).
Например, квадратичная форма f 1 (X) = x 1 2 + х 2 2 - положительно определенная, т.к. представляет собой сумму квадратов, а квадратичная форма f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 х 2 - х 2 2 - отрицательно определенная, т.к. представляет ее можно представить в виде f 2 (X) = -(x 1 - х 2) 2 .
В большинстве практических ситуации установить знакоопределенность квадратичной формы несколько сложнее, поэтому для этого используют одну из следующих теорем (сформулируем их без доказательств).
Теорема . Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (отрицательны).
Теорема (критерий Сильвестра) . Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы этой формы положительны.
Главным (угловым) минором k-го порядка матрицы А n-го порядка называют определитель матрицы, составленный из первых k строк и столбцов матрицы А ().
Отметим, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, причем минор первого порядка должен быть отрицательным.
Например, исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 + 3х 2 2 .
= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17; . Следовательно, квадратичная форма – положительно определенная.
Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А D 1 = a 11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – положительно определенная.
Исследуем на знакоопределенность другую квадратичную форму, f(х 1 , х 2) = -2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .
Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17; . Следовательно, квадратичная форма – отрицательно определенная.
Квадратичной формой называется однородный многочлен 2-й степени от нескольких переменных.
Квадратичная форма от переменных состоит из слагаемых двух типов: квадратов переменных и их попарных произведений с некоторыми коэффициентами. Квадратичную форму принято записывать в виде следующей квадратной схемы:
Пары подобных членов записываются с одинаковыми коэффициентами, так что каждый из них составляет половину коэффициента при соответствующем произведении переменных. Таким образом, каждая квадратичная форма естественным образом связывается с матрицей ее коэффициентов, которая является симметричной.
Квадратичную форму удобно представлять и в следующей матричной записи. Обозначим через X столбец из переменных через X - строку т. е. матрицу, транспонированную с X. Тогда
Квадратичные формы встречаются во многих разделах математики и ее приложений.
В теории чисел и кристаллографии рассматриваются квадратичные формы в предположении, что переменные принимают только целочисленные значения. В аналитической геометрии квадратичная форма входит в состав уравнения кривой (или поверхности) порядка. В механике и физике квадратичная форма появляется для выражения кинетической энергии системы через компоненты обобщенных скоростей и т. д. Но, кроме того, изучение квадратичных форм необходимо и в анализе при изучении функций от многих переменных, в вопросах, для решения которых важно выяснить, как данная функция в окрестности данной точки отклоняется от приближающей ее линейной функции. Примером задачи этого типа является исследование функции на максимум и минимум.
Рассмотрим, например, задачу об исследовании на максимум и минимум для функции от двух переменных имеющей непрерывные частные производные до порядка. Необходимым условием для того, чтобы точка давала максимум или минимум функции является равенство нулю частных производных порядка в точке Допустим, что это условие выполнено. Придадим переменным х и у малые приращения и к и рассмотрим соответствующее приращение функции Согласно формуле Тейлора это приращение с точностью до малых высших порядков равно квадратичной форме где - значения вторых производных вычисленные в точке Если эта квадратичная форма положительна при всех значениях и к (кроме ), то функция имеет минимум в точке если отрицательна, то - максимум. Наконец, если форма принимает и положительные и отрицательные значения, то не будет ни максимума, ни минимума. Аналогичным образом исследуются и функции от большего числа переменных.
Изучение квадратичных форм в основном заключается в исследовании проблемы эквивалентности форм относительно той или другой совокупности линейных преобразований переменных. Две квадратичные формы называются эквивалентными, если одна из них может быть переведена в другую посредством одного из преобразований данной совокупности. С проблемой эквивалентности тесно связана проблема приведения формы, т. о. преобразования ее к некоторому возможно простейшему виду.
В различных вопросах, связанных с квадратичными формами, рассматриваются и различные совокупности допустимых преобразований переменных.
В вопросах анализа применяются любые неособенные преобразования переменных; для целей аналитической геометрии наибольший интерес представляют ортогональные преобразования, т. е. те, которым соответствует переход от одной системы переменных декартовых координат к другой. Наконец, в теории чисел и в кристаллографии рассматриваются линейные преобразования с целыми коэффициентами и с определителем, равным единице.
Мы рассмотрим из этих задач две: вопрос о приведении квадратичной формы К простейшему виду посредством любых неособенных преобразований и тот же вопрос для преобразований ортогональных. Прежде всего выясним, как преобразуется матрица квадратичной формы при линейном преобразовании переменных.
Пусть , где А - симметричная матрица из коэффициентов формы, X - столбец из переменных.
Сделаем линейное преобразование переменных, записав его сокращенно . Здесь С обозначает матрицу коэффициентов этого преобразования, X - столбец из новых переменных. Тогда и, следовательно, так что матрицей преобразованной квадратичной формы является
Матрица автоматически оказывается симметричной, что легко проверяется. Таким образом, задача о приведении квадратичной формы к простейшему виду равносильна задаче о приведении к простейшему виду симметричной матрицы посредством умножения ее слева и справа на взаимно транспонированные матрицы.
Квадратичные формы.
Знакоопределённость форм. Критерий Сильвестра
Прилагательное «квадратичный» сразу наталкивает на мысль, что что-то здесь связано с квадратом (второй степенью), и очень скоро мы узнаем это «что-то» и что такое форма. Прямо скороговоркой получилась:)
Приветствую вас на своём новом уроке, и в качестве незамедлительной разминки мы рассмотрим форму в полосочку линейную . Линейной формой переменных называют однородный многочлен 1-й степени:
– какие-то конкретные числа*
(предполагаем, что хотя бы одно из них отлично от нуля)
, а – переменные, которые могут принимать произвольные значения.
* В рамках данной темы будем рассматривать только действительные числа .
С термином «однородный» мы уже сталкивались на уроке об однородных системах линейных уравнений , и в данном случае он подразумевает, что у многочлена нет приплюсованной константы .
Например: – линейная форма двух переменных
Теперь форма квадратичная. Квадратичной формой переменных называют однородный многочлен 2-й степени, каждое слагаемое которого содержит либо квадрат переменной, либо парное произведение переменных. Так, например, квадратичная форма двух переменных имеет следующий вид:
Внимание!
Это стандартная запись, и что-то менять в ней не нужно! Несмотря на «страшный» вид, тут всё просто – двойные подстрочные индексы констант сигнализируют о том, какие переменные входят в то или иное слагаемое:
– в этом слагаемом находится произведение и (квадрат);
– здесь произведение ;
– и здесь произведение .
– сразу упреждаю грубую ошибку, когда теряют «минус» у коэффициента, не понимая, что он относится к слагаемому:
Иногда встречается «школьный» вариант оформления в духе , но то лишь иногда. Кстати, заметьте, что константы нам тут вообще ни о чем не говорят, и поэтому запомнить «лёгкую запись» труднее. Особенно, когда переменных больше.
И квадратичная форма трёх переменных содержит уже шесть членов:
…почему в «смешанных» слагаемых ставятся множители-«двойки»? Это удобно, и скоро станет понятно, почему.
Однако общую формулу запишем, её удобно оформить «простынёй»:
– внимательно изучаем каждую строчку – ничего страшного тут нет!
Квадратичная форма содержит слагаемых с квадратами переменных и слагаемых с их парными произведениями (см. комбинаторную формулу сочетаний ) . Больше ничего – никаких «одиноких иксов» и никакой приплюсованной константы (тогда уже получится не квадратичная форма, а неоднородный многочлен 2-й степени).
Матричная запись квадратичной формы
В зависимости от значений рассматриваемая форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и то же самое касается любой линейной формы – если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля, то она может оказаться как положительной, так и отрицательной (в зависимости от значений ).
Такая форма называется знакопеременной . И если с линейной формой всё прозрачно, то с формой квадратичной дела обстоят куда более интересно:
Совершенно понятно, что данная форма может принимать значения любого знака, таким образом, квадратичная форма тоже может быть знакопеременной .
А может и не быть:
– всегда, если только одновременно не равны нулю.
– для любого вектора , кроме нулевого .
И вообще, если для любого ненулевого вектора , , то квадратичную форму называют положительно определённой ; если же – то отрицательно определённой .
И всё бы было хорошо, но определённость квадратичной формы виднА лишь в простых примерах, и эта видимость теряется уже при небольшом усложнении: – ?
Можно предположить, что форма определена положительно, но так ли это на самом деле? Вдруг существуют значения , при которых она меньше нуля?
На этот счёт существует теорема : если ВСЕ собственные числа матрицы квадратичной формы положительны* , то она определена положительно. Если все отрицательны – то отрицательно.
* В теории доказано, что все собственные числа действительной симметрической матрицы действительны
Запишем матрицу вышеприведённой формы: и из уравнения
найдём её собственные значения
:
Решаем старое доброе квадратное уравнение
:, значит, форма
определена положительно, т.е. при любых ненулевых значениях она больше нуля.
Рассмотренный метод вроде бы рабочий, но есть одно большое НО. Уже для матрицы «три на три» искать собственные числа – есть занятие долгое и неприятное; с высокой вероятностью получится многочлен 3-й степени с иррациональными корнями.
Как быть? Существует более простой путь!
Критерий Сильвестра
Нет, не Сильвестра Сталлоне:) Сначала напомню, что такое угловые миноры
матрицы. Это определители
которые «разрастаются» из её левого верхнего угла:
и последний из них в точности равен определителю матрицы.
Теперь, собственно, критерий :
1) Квадратичная форма определена положительно тогда и только тогда, когда ВСЕ её угловые миноры больше нуля: .
2) Квадратичная форма определена отрицательно тогда и только тогда, когда её угловые миноры знакочередуются, при этом 1-й минор меньше нуля: , , если – чётное или , если – нечётное.
Если хотя бы один угловой минор противоположного знака, то форма знакопеременна . Если угловые миноры «того» знака, но среди них есть нулевые, то это особый случай, который я разберу чуть позже, после того, как мы перещёлкаем более распространённые примеры.
Проанализируем угловые миноры матрицы :
И это сразу говорит нам о том, что форма не определена отрицательно.
Вывод
: все угловые миноры больше нуля, значит, форма определена положительно.
Есть разница с методом собственных чисел? ;)
Запишем матрицу формы из Примера 1
:
первый её угловой минор , а второй , откуда следует, что форма знакопеременна, т.е. в зависимости от значений , может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Впрочем, это и так очевидно.
Возьмём форму и её матрицу из Примера 2
:
тут вообще без озарения не разобраться. Но с критерием Сильвестра нам всё нипочём:
, следовательно, форма точно не отрицательна.
, и точно не положительна (т.к. все угловые миноры должны быть положительными)
.
Вывод : форма знакопеременна.
Разминочные примеры для самостоятельного решения:
Пример 4
Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность
а)
В этих примерах всё гладко (см. конец урока), но на самом деле для выполнения такого задания критерия Сильвестра может оказаться не достаточно .
Дело в том, что существуют «краевые» случаи, а именно: если для любого ненулевого вектора , то форма определена неотрицательно , если – то неположительно . У этих форм существует ненулевые векторы , при которых .
Здесь можно привести такой «баян»:
Выделяя полный квадрат
, сразу видим неотрицательность
формы: , причём, она равна нулю и при любом векторе с равными координатами, например: .
«Зеркальный» пример неположительно
определённой формы:
и ещё более тривиальный пример:
– здесь форма равна нулю при любом векторе , где – произвольное число.
Как выявить неотрицательность или неположительнось формы?
Для этого нам потребуется понятие главных миноров
матрицы. Главный минор – это минор, составленный из элементов, которые стоят на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Так, у матрицы существуют два главных минора 1-го порядка:
(элемент находится на пересечении 1-й строки и 1-го столбца);
(элемент находится на пересечении 2-й строки и 2-го столбца),
и один главный минор 2-го порядка: – составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца.
У матрицы «три на три» главных миноров семь, и тут уже придётся помахать бицепсами:
– три минора 1-го порядка,
три минора 2-го порядка: – составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца;
– составлен из элементов 1-й, 3-й строки и 1-го, 3-го столбца;
– составлен из элементов 2-й, 3-й строки и 2-го, 3-го столбца,
и один минор 3-го порядка: – составлен из элементов 1-й, 2-й, 3-й строки и 1-го, 2-го и 3-го столбца.
Задание
на понимание: записать все главные миноры матрицы .
Сверяемся в конце урока и продолжаем.
Критерий Шварценеггера :
1) Ненулевая* квадратичная форма определена неотрицательно тогда и только тогда, когда ВСЕ её главные миноры неотрицательны (больше либо равны нулю).
* У нулевой (вырожденной) квадратичной формы все коэффициенты равны нулю .
2) Ненулевая квадратичная форма с матрицей определена неположительно
тогда и только тогда, когда её:
– главные миноры 1-го порядка неположительны
(меньше либо равны нулю);
– главные миноры 2-го порядка неотрицательны
;
– главные миноры 3-го порядка неположительны
(пошло чередование);
…
– главный минор -го порядка неположителен
, если – нечётное либо неотрицателен
, если – чётное.
Если хотя бы один минор противоположного знака, то форма знакопеременна.
Посмотрим, как работает критерий в вышеприведённых примерах:
Составим матрицу формы, и в первую очередь
вычислим угловые миноры – а вдруг она определена положительно или отрицательно?
Полученные значения не удовлетворяют критерию Сильвестра, однако второй минор не отрицателен , и это вызывает надобность проверить 2-й критерий (в случае 2-й критерий будет не выполнен автоматически, т.е. сразу делается вывод о знакопеременности формы) .
Главные миноры 1-го порядка:
– положительны,
главный минор 2-го порядка: – не отрицателен.
Таким образом, ВСЕ главные миноры не отрицательны, значит, форма неотрицательна .
Запишем матрицу формы , для которой, очевидно, не выполнен критерий Сильвестра. Но и противоположных знаков мы тоже не получили (т.к. оба угловых минора равны нулю). Поэтому проверяем выполнение критерия неотрицательности / неположительности. Главные миноры 1-го порядка:
– не положительны,
главный минор 2-го порядка: – не отрицателен.
Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), форма определена неположительно.
Теперь во всеоружии разберём более занятную задачку:
Пример 5
Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
Данную форму украшает орден «альфа», который может равняться любому действительному числу. Но это ж только веселее будет, решаем .
Сначала запишем матрицу формы, наверное, многие уже приноровились это делать устно: на главную диагональ
ставим коэффициенты при квадратах, а на симметричные места – споловиненные коэффициенты соответствующих «смешанных» произведений:
Вычислим угловые миноры:
третий определитель я раскрою по 3-й строке: