Классические и статистические определения вероятности. Вероятность события
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Под случайными явлениями пони-маются явления с неопределенным исходом, происходящие при неоднократном воспроизведении определенного комплекса условий.
Например, при бросании монеты нельзя предсказать, какой стороной она упадет. Результат бросания монеты случаен. Но при дос-таточно большом числе бросаний монеты существует определенная закономерность (герб и решетка выпадут примерно одинаковое число раз).
Основные понятия теории вероятностей
Испытание (опыт, эксперимент) - осуществление некоторого определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.
Например: подбрасывание игральной кости с выпадением числа очков; перепад температуры воздуха; метод лечения заболевания; некоторый период жизни человека.
Случайное событие (или просто событие) – исход испытания.
Примеры случайных событий:
выпадение одного очка при подбрасывании игральной кости;
обострение ишемической болезни сердца при резком повышении температуры воздуха летом;
развитие осложнений заболевания при неправильном выборе метода лечения;
поступление в вуз при успешной учебе в школе.
События обозначают прописными буквами латинского алфа-вита: A , B , C , …
Событие называется достоверным , если в результате испытания оно обязательно должно произойти.
Событие называется невозможным , если в результате испы-тания оно вообще не может произойти.
Например,если в партии все изделия стандартные, то извлечение из неё стандартного изделия - событие достоверное, а извлечение при тех же условиях бракованного изделия – событие невозможное.
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей.
Классической
вероятностью
события
называется отношение числа случаев,
благоприятствующих событию
,
к общему числу случаев, т.е.
, (5.1)
где
- вероятность события
,
-
число случаев, благоприятствующих
событию
,
-
общее число случаев.
Свойства вероятности события
Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.
Вероятность достоверного события равна единице, т.е.
.
Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.
.
(Предложить решить несколько простых задач устно).
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
На практике часто при оценке вероятностей событий основываются на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется статистическое определение вероятности.
Статистической
вероятностью события
называется предел относительной частоты
(отношение числа случаев m
, благоприятствующих появлению события
,
к общему числу
произведенных испытаний), когда число
испытаний стремится к бесконечности,
т.е.
где
- статистическая вероятность события
,
- число испытаний, в которых появилось
событие
,
-
общее число испытаний.
В отличие от классической вероятности, статистическая вероятность является характеристикой опытной. Классическая вероятность служит для теоретического вычисления вероятности события по заданным условиям и не требует, чтобы испытания проводились в действительности. Формула статистической вероятности служит для экспериментального определения вероятности события, т.е. предполагается, что испытания были проведены фактически.
Статистическая вероятность приблизительно равна относительной частоте случайного события, поэтому на практике за статистическую вероятность берут относительную частоту, т.к. статистическую вероятность практически найти нельзя.
Статистическое определение вероятности применимо к случайным событиям, которые обладают следующими свойствами:
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Основные понятия
а) Единственно возможные события
События
называют единственно возможными, если
в результате каждого испытания хотя бы
одно из них наверняка наступит.
Эти события образуют полную группу событий.
Например, при подбрасывании игрального кубика, единственно возможными являются события выпадения граней с одним, двумя, тремя, четырьмя, пятью и шестью очками. Они образуют полную группу событий.
б) События называют несовместными , если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае их называют совместными.
в)
Противоположными
называют два единственно возможных
события, образующих полную группу.
Обозначают
и
.
г ) События называют независимыми , если вероятность наступления одного из них не зависит от совершения или несовершения других.
Действия над событиями
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.
Если
и
– совместные события, то их сумма
или
обозначает наступление или события A,
или события B,
или обоих событий вместе.
Если
и
– несовместные события, то их сумма
означает наступление или события
,
или события
.
Сумму
событий обозначают:
Произведением (пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.
Произведение
двух событий обозначают
или
.
Произведение
событий обозначают
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Вероятность суммы двух или нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Для двух событий;
-
для
событий.
Следствия:
а)
Сумма вероятностей противоположных
событий
и
равна единице:
Вероятность
противоположного события обозначают
:
.
б)
Сумма вероятностей
событий, образующих полную группу
событий, равна единице:
или
.
Теорема сложения вероятностей совместных событий
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятностей их пересечения, т.е.
Теорема умножения вероятностей
а) Для двух независимых событий:
б) Для двух зависимых событий
где
– условная вероятность события
,
т.е. вероятность события
,
вычисленная при условии, что событие
произошло.
в)
Для
независимых событий:
.
г)
Вероятность наступления хотя бы одного
из событий
,образующих
полную группу независимых событий:
Условная вероятность
Вероятность
события
,
вычисленная при условии, что произошло
событие
,
называется условной вероятностью
события
и обозначается
или
.
При
вычислении условной вероятности по
формуле клас-сической вероятности число
исходов
и
подсчитывается с учетом того, что до
совершения события
произошло событие
.
Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определённое число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы назовём вероятностью события. Таким образом, вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события.
Первым по времени определением вероятности следует считать классическое, которое возникло из анализа азартных игр и применялось вначале интуитивно.
Классический способ определения вероятности основан на понятии равновозможных и несовместных событий, которые являются исходами данного опыта и образуют полную группу несовместных событий.
Наиболее простым примером равновозможных и несовместных событий, образующих полную группу, является появление того или иного шара из урны, содержащей несколько одинаковых по размеру, весу и другим осязаемым признакам шаров, отличающихся лишь цветом, тщательно перемешанных перед выниманием.
Поэтому об испытании, исходы которого образуют полную группу несовместных и равновозможных событий, говорят, что оно сводится к схеме урн, или схеме случаев , или укладывается в классическую схему.
Равновозможные и несовместные события, составляющие полную группу, будем называть просто случаями или шансами. При этом в каждом опыте наряду со случаями могут происходить и более сложные события.
Пример : При подбрасывании игральной кости наряду со случаями А i - выпадение i- очков на верхней грани можно рассматривать такие события, как В - выпадение чётного числа очков, С - выпадение числа очков, кратных трём …
По отношению к каждому событию, которое может произойти при осуществлении эксперимента, случаи делятся на благоприятствующие , при которых это событие происходит, и неблагоприятствующие, при которых событие не происходит. В предыдущем примере, событию В благоприятствуют случаи А 2 , А 4 , А 6 ; событию С - случаи А 3 , А 6 .
Классической вероятностью появления некоторого события называется отношение числа случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу случаев равновозможных, несовместных, составляющих полную группу в данном опыте:
где Р(А) - вероятность появления события А; m - число случаев, благоприятствующих событию А; n - общее число случаев.
Примеры:
1) (смотри пример выше) Р(В) = , Р(С) = .
2) В урне находятся 9 красных и 6 синих шаров. Найти вероятность того, что вынутые наугад один, два шара окажутся красными.
А - вынутый наугад шар красный:
m = 9, n = 9 + 6 = 15, P(A) =
B - вынутые наугад два шара красные:
Из классического определения вероятности вытекают следующие свойства (показать самостоятельно):
1) Вероятность невозможного события равна 0;
2) Вероятность достоверного события равна 1;
3) Вероятность любого события заключена между 0 и 1;
4) Вероятность события, противоположного событию А,
Классическое определение вероятности предполагает, что число исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных случаев которых бесконечно. Кроме того, слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элементарные исходы испытания равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания заключают из соображений симметрии. Однако такие задачи на практике встречаются весьма редко. По этим причинам наряду с классическим определением вероятности пользуются и другими определениями вероятности.
Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях:
где - вероятность появления события А;
Относительная частота появления события А;
Число испытаний, в которых появилось событие А;
Общее число испытаний.
В отличие от классической вероятности статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной.
Пример : Для контроля качества изделий из партии наугад выбрано 100 изделий, среди которых 3 изделия оказались бракованными. Определить вероятность брака.
.
Статистический способ определения вероятности применим лишь к тем событиям, которые обладают следующими свойствами:
Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.
События должны обладать статистической устойчивостью (или устойчи- востью относительных частот). Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота события изменяется незначительно.
Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико.
Легко проверить, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности.
Классическое определение вероятности предполагает, что все элементарные исходы равновозможны . О равновозможности исходов опыта заключают в силу соображений симметрии (как в случае монеты или игрального кубика). Задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются редко. Во многих случаях трудно указать основания, позволяющие считать, что все элементарные исходы равновозможны. В связи с этим появилась необходимость введения еще одного определения вероятности, называемого статистическим . Чтобы дать это определение, предварительно вводят понятие относительной частоты события.
Относительной частотой события , или частотой , называется отношение числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Обозначим частоту события через , тогда по определению
(1.4.1)
где - число опытов, в которых появилось событие и - число всех произведенных опытов.
Частота события обладает следующими свойствами.
Наблюдения позволили установить, что относительная частота обладает свойствами статистической устойчивости: в различных сериях многочленных испытаний (в каждом из которых может появиться или не появиться это событие) она принимает значения, достаточно близкие к некоторой постоянной. Эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного события.
Вероятностью события называется число, около которого группируются значения,частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний.
Это определение вероятности называется статистическим .
В случае статистического определения вероятность обладает следующими свойствами:
1) вероятность достоверного события равна единице;
2) вероятность невозможного события равна нулю;
3) вероятность случайного события заключена между нулем и единицей;
4) вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Пример 1. Из 500 взятых наудачу деталей оказалось 8 бракованных. Найти частоту бракованных деталей.
Решение. Так как в данном случае = 8, = 500, то в соответствии с формулой (1.4.1) находим
Пример 2 . Игральный кубик подброшен 60 раз, при этом шестерка появилась 10 раз. Какова частота появления шестерки ?
Решение. Из условия задачи следует, что = 60, = 10, поэтому
Пример 3.
Среди 1000 новорожденных оказалось 515 мальчиков.Чему равна частота рождения мальчиков?
Решение.
Поскольку в данном случае , , то 
.
Пример 4. В результате 20 выстрелов по мишени получено 15 попаданий. Какова частота попаданий?
Решение. Так как = 20, = 15, то
Пример 5. При стрельбе по мишени частота попаданий = 0,75. Найти число попаданий при 40 выстрелах.
Решение. Из формулы (1.4.1) следует, что . Так как = 0,75, = 40, то . Таким образом, было получено 30 попаданий.
Пример 6. www.. Из высеянных семян взошло 970. Сколько семян было высеяно?
Решение. Из формулы (1.4.1) следует, что . Поскольку , , то . Итак, было высеяно 1000 семян.
Пример 7. На отрезке натурального ряда от 1 до 20 найти частоту простых чисел.
Решение. На указанном отрезке натурального ряда чисел находятся следующие простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19; всего их 8. Так как = 20, = 8, то искомая частота
.
Пример 8. Проведены три серии многократных подбрасываний симметричной монеты, подсчитаны числа появлений герба: 1) = 4040, =2048, 2) = 12000, = 6019; 3) = 24000, = 12012. Найти частоту появления герба в каждой серии испытаний.
Решение . В соответствии с формулой (1.4.1) находим:
Замечание. Эти примеры свидетельствуют о том, что при многократных испытаниях частота события незначительно отличается от его вероятности. Вероятность появления герба при подбрасывании монеты р = 1/2 = 0,5 , так как в этом случае n = 2, m = 1.
Пример 9. Среди 300 деталей, изготовленных на автоматическом станке, оказалось 15, не отвечающих стандарту. Найти частоту появления нестандартных деталей.
Решение. В данном случае n = 300, m = 15, поэтому
Пример 10. Контролер, проверяя качество 400 изделий установил, что 20 из них относятся ко второму сорту, а остальные - к первому. Найти частоту изделий первого сорта, частоту изделий второго сорта.
Решение. Прежде всего, найдем число изделий первого сорта: 400 - 20 = 380. Поскольку n = 400, = 380, то частота изделий первого сорта
Аналогично находим частоту изделий второго сорта:
Задачи
- Отдел технического контроля обнаружил 10 нестандартных изделий в партии из 1000 изделий. Найдите частоту изготовления бракованных изделий.
- Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабораторных условиях 100 штук. 95 семян дали нормальный всход. Какова частота нормального всхода семян?
- Найдите частоту появления простых чисел в следующих отрезках натурального ряда: а) от 21 до 40; б) от 41 до 50; в) от 51 до 70.
- Найдите частоту появления цифры при 100 подбрасываниях симметричной монеты. (Опыт проводите самостоятельно).
- Найдите частоту появления шестерки при 90 подбрасываниях игрального кубика.
- Путем опроса всех студентов Вашего курса определите частоту дней рождения, попадающих на каждый месяц года.
- Найдите частоту пятибуквенных слов в любом газетном тексте.
Ответы
- 0,01. 2. 0,95; 0,05. 3. а) 0,2; б) 0,3; в) 0,2.
Вопросы
- Что такое частота события?
- Чему равна частота достоверного события?
- Чему равна частота невозможного события?
- В каких пределах заключена частота случайного события?
- Чему равна частота суммы двух несовместных событий?
- Какое определение вероятности называют статистическим?
- Какими свойствами обладает статистическая вероятность?
Метки . Смотреть .
Показатель ранговой корреляции Кендалла, проверка соответствующей гипотезы о существенности связи.
2.Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
Вероятность - одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим. Далее укажем слабые стороны этого определения и приведем другие определения, позволяющие преодолеть недостатки классического определения.
Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них - красные, 3 - синие и 1 - белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной (т. е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.
Поставим перед собой задачу дать количественную оценку возможности того, что взятый наудачу шар цветной. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовемэлементарным исходом (элементарным событием) . Элементарные исходы обозначим через w 1 , w 2 , w 3 и т.д. В нашем примере возможны следующие 6 элементарных исходов: w 1 - появился белый шар; w 2 , w 3 - появился красный шар; w 4 , w 5 , w 6 - появился синий шар. Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).
Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию. В нашем примере благоприятствуют событию A (появлению цветного шара) следующие 5 исходов: w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 .
Таким образом, событие А наблюдается, если в испытании наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих A; в нашем примере А наблюдается, если наступит w 2 , или w 3 , или w 4 , или w 5 , или w 6 . В этом смысле событие А подразделяется на несколько элементарных событий (w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6); элементарное же событие не подразделяется на другие события. В этом состоит различие между событием А и элементарным событием (элементарным исходом).
Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают через Р (А). В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р (A) = 5 / 6. Это число и дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую мы хотели найти. Дадим теперь определение вероятности.
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой
где m - число элементарных исходов, благоприятствующих A; n - число всех возможных элементарных исходов испытания.
Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
С в о й с т в о 1. Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно,
Р (A) = m / n = n / n = 1.
С в о й с т в о 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно,
Р (А) = m / n = 0 / n = 0.
С в о й с т в о 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей .
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,
0 < Р (А) < 1
Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству
З а м е ч а н и е. Современные строгие курсы теории вероятностей построены на теоретико-множественной основе. Ограничимся изложением на языке теории множеств тех понятий, которые рассмотрены выше.
Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий w i , (i = 1, 2, ..., n). События w i , называют элементарными событиями (элементарными исходами) . Уже отсюда следует, что элементарные события попарно несовместны. Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называютпространством элементарных событий W, а сами элементарные события - точками пространства W.
Событие А отождествляют с подмножеством (пространства W), элементы которого есть элементарные исходы, благоприятствующие А; событие В есть подмножество W, элементы которого есть исходы, благоприятствующие В, и т.д. Таким образом, множество всех событий, которые могут наступить в испытании, есть множество всех подмножествW. Само W наступает при любом исходе испытания, поэтому W - достоверное событие; пустое подмножество пространства W - невозможное событие (оно не наступает ни при каком исходе испытания).
Заметим, что элементарные события выделяются из числа всех событий тем, что каждое из них содержит только один элемент W.
Каждому элементарному исходу w i , ставят в соответствие положительное число p i - вероятность этого исхода, причем
По определению, вероятность Р(А) события А равна сумме вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих А. Отсюда легко получить, что вероятность события достоверного равна единице, невозможного - нулю, произвольного - заключена между нулем и единицей.
Рассмотрим важный частный случай, когда все исходы равновозможны. Число исходов равно n, сумма вероятностей всех исходов равна единице; следовательно, вероятность каждого исхода равна 1 / n. Пусть событию А благоприятствует m исходов. Вероятность события А равна сумме вероятностей исходов, благоприятствующих А:
Р (А) = 1 / n + 1 / n + .. + 1 / n.
Учитывая, что число слагаемых равно m, имеем
Р (А) = m / n.
Получено классическое определение вероятности.
Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной А. Н. Колмогоровым, неопре-деляемыми понятиями являются элементарное событие и вероятность. Приведем аксиомы, определяющие вероятность:
1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Р (А). Это число называется вероятностью события А.
2. Вероятность достоверного события равна единице:
3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем.
3.Статическое определение вероятности, относительная частота.
Классическое определение не требует проведения опыта. В то время как реальные прикладные задачи имеют бесконечное число исходов, и классическое определение в этом случае не может дать ответа. Поэтому в таких задачах будем использовать статическое определение вероятностей , которое подсчитывают после проведения эксперимента или опыта.
Статической вероятностью w(A) или относительной частотой называют отношение числа благоприятных данному событию исходов к общему числу фактически проведенных испытаний.
w (A )=nm
Относительная частота события обладает свойством устойчивости :
limn →∞P (∣ ∣ nm −p ∣ ∣ <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты)
4.Геометрические вероятности.
При геометрическом подходе к определению вероятности в качестве пространства элементарных событий рассматривается произвольное множество конечной лебеговой меры на прямой, плоскости или пространстве. Событиями называются всевозможные измеримые подмножества множества .
Вероятность события А определяется формулой
где обозначает лебегову меру множества А. При таком определении событий и вероятностей все аксиомы А.Н.Колмогорова выполняются.
В конкретных задачах, которые сводятся к указанной выше вероятностной схеме, испытание интерпретируется как случайный выбор точки в некоторой области , а событие А – как попадание выбранной точки в некоторую подобласть А области . При этом требуется, чтобы все точки области имели одинаковую возможность быть выбранными. Это требование обычно выражается словами «наудачу», «случайным образом» и т.д.
Вероямтность -- степень (мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае -- невероятным или маловероятным. Перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может быть в различной степени, вследствие чего вероятность (и невероятность) бывает большей или меньшей. Поэтому часто вероятность оценивается на качественном уровне, особенно в тех случаях, когда более или менее точная количественная оценка невозможна или крайне затруднительна. Возможны различные градации «уровней» вероятности.
Классическое определение вероятности основано на понятии равно возможности исходов. В качестве вероятности выступает отношение количества исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу равновозможных исходов. Например, вероятность выпадения «орла» или «решки» при случайном подбрасывании монетки равна 1/2, если предполагается, что только эти две возможности имеют место и они являются равновозможными. Данное классическое «определение» вероятности можно обобщить на случай бесконечного количества возможных значений -- например, если некоторое событие может произойти с равной вероятностью в любой точке (количество точек бесконечно) некоторой ограниченной области пространства (плоскости), то вероятность того, что оно произойдет в некоторой части этой допустимой области равна отношению объёма (площади) этой части к объёму (площади) области всех возможных точек.
Вероятностное описание тех или иных явлений получило широкое распространение в современной науке, в частности в эконометрике, статистической физике макроскопических (термодинамических) систем, где даже в случае классического детерминированного описания движения частиц детерминированное описание всей системы частиц не представляется практически возможным и целесообразным. В квантовой физике сами описываемые процессы имеют вероятностную природу.
Возникновение понятия и теории вероятности
Первые работы об учении о вероятности относится к 17 веку. Такие как переписка французских учёных Б. Паскаля, П. Ферма (1654 год) и голландского учёного X. Гюйгенса (1657 год) давшего самую раннюю из известных научных трактовок вероятности]. По существу Гюйгенс уже оперировал понятием математического ожидания. Швейцарский математик Я. Бернулли, установил закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами (посмертно, 1713 год). В XVIII в. -- начале ХIХ в. теория вероятностей получает развитие в работах А. Муавра (Англия)(1718 год), П. Лаплас (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). Теория вероятностей начинает применяться в теории ошибок наблюдений, развившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии, и в теории стрельбы. Необходимо отметить, что закон распределения ошибок по сути предложил Лаплас сначала как экспоненциальная зависимость от ошибки без учета знака (в 1774 год), затем как экспоненциальную функцию квадрата ошибки (в 1778 году). Последний закон обычно называют распределением Гаусса или нормальным распределением. Бернулли (1778 год) ввел принцип произведения вероятностей одновременных событий. Адриен Мари Лежандр (1805) разработал метод наименьших квадратов.
Во второй половине XIX в. развитие теории вероятностей связано с работами русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова (старшего), а также работы по математической статистике А. Кетле (Бельгия) и Ф. Гальтона (Англия) и статистической физике Л. Больцмана (в Австрия), которые создали основу для существенного расширения проблематики теории вероятностей. Наиболее распространённая в настоящее время логическая (аксиоматическая) схема построения основ теории вероятностей разработана в 1933 советским математиком А. Н. Колмогоровым.
Классическое определение вероятности:
По классическому определению вероятность случайного события Р(А) равна отношению числа исходов, благоприятствующих А, к общему числу исходов, составляющих пространство элементарных событий, т.е.
вероятность статический классический теория
Вычисление вероятностей при этом сводится к подсчету элементов того или иного множества и часто оказывается чисто комбинаторной задачей, иногда весьма трудной.
Классическое определение оправдано, когда существует возможность предсказания вероятности на основании симметрии условий, при которых происходит эксперимент, и вследствие этого симметрии исходов испытания, что приводит к понятию "равно возможности" исходов.
Например. Если сделанная из однородного материала геометрически правильная игральная кость подбрасывается так, что она успевает сделать достаточно большое число оборотов перед тем, как упасть, то выпадение любой из ее граней считается равновозможным исходом.
По тем же соображениям симметрии считаются равновозможными исходы такого эксперимента, как вынимание тщательно перемешанных и неотличимых на ощупь белых и черных шаров так, что после регистрации цвета каждый шар возвращается обратно в сосуд и после тщательного перемешивания производится извлечение следующего шара.
Чаще всего такая симметрия наблюдается в искусственно организованных экспериментах, какими являются азартные игры.
Таким образом, классическое определение вероятности связано с понятием равно возможности и используется для экспериментов, сводящихся к схеме случаев. Для этого необходимо, чтобы события e1, e2, en были несовместными, т. е. никакие два из них не могут появиться вместе; такими, что образуют полную группу, т. е. они исчерпывают собой все возможные исходы (не может быть так, что в результате опыта ни одно из них не произошло); равновозможными при условии, что эксперимент обеспечивает одинаковую возможность появления каждого из них.
Не всякий эксперимент удовлетворяет схеме случаев. Если нарушается условие симметрии, то нет схемы случаев.
Формула (1.1), "классическая формула", применялась для вычисления вероятностей событий с самого начала появления науки о случайных явлениях.
Те опыты, которые не обладали симметрией, "подгонялись" под схему случаев. В настоящее время наряду с "классической формулой" существуют способы вычисления вероятностей, когда эксперимент не сводится к схеме случаев. Для этого используется статистическое определение вероятности.
Понятие статистической вероятности будет введено позднее, а сейчас вернемся к классической формуле.
Рассмотрим следующие примеры.
Пример 1. Опыт состоит в бросании двух монет. Найти вероятность того, что появится хотя бы один герб.
Решение. Случайное событие А - появление хотя бы одного герба.
Пространство элементарных событий в данном эксперименте определяется следующими исходами: Е = {ГГ, ГР, РГ, РР}, которые соответственно обозначаются e1, e2, e3, e4. Таким образом,
E=e1, e2, e3, e4; n=4.
Необходимо определить число исходов из Е, которые благоприятствуют появлению А. Это e1, e2, e3; их число m=3.
Используя классическую формулу определения вероятности события А, имеем
Пример 2. В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
Решение. Случайное событие А - появление белого шара. Пространство элементарных событий Е включает исходы e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, где ei - появление одного шара (белого или черного);
E={e1, e2, e3, e4, 5, e6, e7}, n=7.
Случайному событию А в пространстве Е благоприятствует 3 исхода; m=3. Следовательно,
Пример 3. В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны вынимается два шара. Найти вероятность того, что оба будут белыми.
Решение. Случайное событие А - оба шара будут белыми.
Пример 3 отличается от примера 2 тем, что в примере 3 исходами, составляющими пространство элементарных исходов Е, будут не отдельные шары, а комбинации из 7 шаров по 2. То есть, чтобы определить размерность Е, необходимо определить число комбинаций из 7 по 2. Для этого необходимо использовать формулы комбинаторики, которые приводятся в разделе "Комбинаторный метод". В данном случае для определения числа комбинаций из 7 по 2 используется формула для определения числа сочетаний
так как выбор производится без возвращения и порядок появления шаров неважен. Таким образом,
Число комбинаций, благоприятных для появления события А, определяется в виде
Следовательно, .
Статистическое определение вероятности
При рассмотрении результатов отдельных испытаний очень трудно найти какие-либо закономерности. Однако в последовательности одинаковых испытаний можно обнаружить устойчивость некоторых средних характеристик. Частостью какого-либо события в данной серии из n испытаний называется отношение m/n, числа m тех испытаний, в которых событие А наступило, к общему числу испытаний n. Почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частость события А устанавливается около определенного значения, которое принимается за вероятность событияА. Устойчивость значения частости подтверждается специальными экспериментами. Статистические закономерности такого рода были впервые обнаружены на примере азартных игр, т. е. на примере тех испытаний, которые характеризуются равно возможностью исходов. Это открыло путь для статистического подхода к численному определению вероятности, когда нарушается условие симметрии эксперимента. Частость события А называют статистической вероятностью, которая обозначается
где mA - число экспериментов, в которых появилось событие А;
n - общее число экспериментов.
Формулы (1.1) и (1.2) для определения вероятности имеют внешнее сходство, но они различны по существу. Формула (1.1) служит для теоретического вычисления вероятности события по заданным условиям опыта. Формула (1.2) служит для экспериментального определения частости события. Чтобы воспользоваться формулой (1.2), необходим опытный статистический материал.
Аксиоматический подход к определению вероятности
Третьим подходом к определению вероятности является аксиоматический подход, при котором вероятности задаются перечислением их свойств.
Принятое аксиоматическое определение вероятности было сформулировано в 1933 г. А. Н. Колмогоровым. В этом случае вероятность задается как числовая функция Р(А) на множестве всех событий, определяемых данным экспериментом, которая удовлетворяет следующим аксиомам:
P(A)=1, если А - достоверное событие.
Если А и В несовместны.
Основные свойства вероятности
Для каждого случайного события А определена его вероятность, причем.
Для достоверного события U имеет место равенство P(U)=1.Свойства 1 и 2 следуют из определения вероятности.
Если события А и В несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей. Это свойство носит название формулы сложения вероятностей в частном случае (для несовместных событий).
Для произвольных событий А и В
Это свойство носит название формулы сложения вероятностей в общем случае.
Для противоположных событий А и имеет место равенство.
Кроме этого, вводится невозможное событие, обозначенное, которому не способствует ни один исход из пространства элементарных событий. Вероятность невозможного события равна 0, P()=0 .
Пример. Вероятность того, что случайно выбранная в результате опроса семья имеет цветной, черно-белый или цветной и черно-белый телевизоры, равны соответственно 0.86; 0.35; 0.29. Какова вероятность, что семья имеет цветной или черно-белый телевизор?
Решение. Пусть событие А состоит в том, что семья имеет цветной телевизор.
Событие В состоит в том, что семья имеет черно-белый телевизор.
Событие С состоит в том, что семья имеет или цветной, или черно-белый телевизор. Событие С определяется через А и В в виде, А и В совместны, поэтому
Комбинаторный метод
Во многих вероятностных проблемах необходимо перечислить все возможные исходы эксперимента или элементарные события, которые возможны в данной ситуации, или вычислить их количество. Для этого можно использовать следующие правила.
Правило 1. Если операция состоит из двух шагов, в которых первый может быть сделан n1 способами и второй может быть сделан n2 способами, то вся операция может быть сделана за n1·n2 способов.
Под словом "операция" подразумевается любая процедура, процесс или метод выбора.
Чтобы подтвердить это правило, рассмотрим операцию, которая состоит из шагов xi и yi, шаг x может быть осуществлен n1 способами, т.е. , шаг y может быть осуществлен n2 способами, т.е. , тогда ряд всех возможных способов может быть представлен следующими n1n2 парами:
Пример. Сколько возможных исходов имеется в эксперименте, который состоит в подбрасывании двух игральных костей.
Решение. Под x и y в этом случае понимается выпадение любой грани на первой кости и на второй кости. Выпадение грани на первой кости возможно шестью способами xi, ; выпадение грани второй кости возможно также шестью способами xj, .
Всего возможных способов 6.6=36.
Правило 2. Если операция состоит из k шагов, в которых первый может быть сделан n1 способами, второй n2 способами, третий способами и т. д., k-й - способами, то вся операция может быть сделана за n1·n2…nk шагов.
Пример. Инспектор качества хочет выбрать часть из каждого из четырех контейнеров, содержащих 4, 3, 5 и 4 частей соответственно. Сколькими способами он может это сделать?
Решение. Общее число способов определяется как 4·3·5·4=240.
Пример. Сколькими возможными способами может ответить студент в тесте из 20 вопросов, если на каждый вопрос он может ответить "да" или "нет"?
Решение. Всех возможных способов 2·2...2=220=1048576.
Часто на практике возникает ситуация, когда объекты должны быть упорядочены.
Например: сколькими различными способами 6 персон могут сесть вокруг стола? Различные их расположения называются перестановками.
Пример. Сколько перестановок возможно для букв a, b, c?
Решение. Возможные расположения abc, acb, bac, bca, cab, cba. Число возможных расположений равно шести.
Обобщая данный пример, для n объектов всего n·(n-1)(n-2)…3 ·2 ·1 различных способов или n!, т. е. число перестановок n!=1·2·3...·(n-2)(n-1)n, при этом 0!=1.
Правило 3. Число перестановок n различных объектов равно n!.
Пример. Число перестановок из четырех букв 4!=24, но какое число перестановок получится, если выбирать по 2 буквы из четырех?
Решение. Мы должны заполнить две позиции из четырех букв. Для первой позиции - 4 способа, для второй позиции - 3 способа. Следовательно, используя правило 1, имеем 4·3=12.
Обобщая этот пример на n различных объектов, из которых выбирается r объектов без возвращения для r > 0, всего способов n(n-1)...(n-r+1). Это число обозначим, а получаемые комбинации называются размещениями.
Правило 4. Число размещений из n объектов по r определяется как
(для r = 0,1,...,n).
Перестановки, когда объекты располагаются по кругу, называются круговыми перестановками. Две круговые перестановки не являются различными (а считаются только одной), если соответствующие объекты в двух расположениях имеют те же самые объекты слева и справа.
Например: если четыре персоны играют в бридж, мы не получим различных расположений, если все игроки передвинутся на один стул справа.
Пример. Сколько круговых перестановок возможно из четырех персон, играющих в бридж? Решение. Если произвольно взять позицию одного из четырех игроков как фиксированную, можно трех остальных игроков расположить 3! способами, другими словами, имеем шесть различных круговых перестановок.
Обобщая этот пример, получаем следующее правило.
Правило 5. Число перестановок из n различных предметов, расположенных по кругу, равно (n-1)!.
До сих пор предполагалось, что n объектов, из которых мы выбираем r объектов и формируем перестановки, являются различными. Таким образом, упомянутые ранее формулы не могут быть использованы для определения числа способов расположения букв в слове "book" или числа способов расположения трех копий одной новеллы и одной копии каждой из четырех других новелл на полке.
Пример. Сколько различных перестановок букв в слове "book"?
Решение. Если важно различать буквы O, то мы их обозначим O1, O2 и тогда будем иметь 4!=24 различных перестановок букв в O1, O2 и K. Однако если мы опускаем индексы, то O1 O2 и O2, O1уже не различаются, тогда общее число перестановок равно.
Пример. Сколько различных способов расположения трех копий одной новеллы и одной копии других четырех новелл на полке?
Решение. Если обозначить три копии первой новеллы как a1, a2, a3 и другие четыре новеллы - b, c, d и e, то в данном случае имеем 7! различных способов и 3! способа расположить a1, a2, a3.
Если опустить индексы, то различных способов расположения копий.
Обобщая эти рассуждения, получим следующее правило.
Правило 6. Число перестановок n объектов, в которых n1 одного сорта, n2 - второго сорта, …, nk - k-го сорта и n1+n2+...+nk=n,
Много задач, в которых необходимо определить число способов выбора r объектов из n различных объектов, не обращая внимания на порядок, в котором они выбираются. Такие комбинации называются сочетаниями.
Пример. Сколькими способами можно выбрать трех кандидатов из 20-ти человек для общественного опроса?
Решение. Если нам важен порядок при выборе кандидатов, то число комбинаций, но каждый ряд из трех кандидатов может быть выбран 3! Способами; если порядок выбора не важен, то всего способов выбора.
Комбинации без возращения r объектов из n различных объектов, которые отличаются самими объектами, но не их порядком, называются сочетаниями.
Правило 7. Число комбинаций по r объектов из n разных объектов определяется числом, число сочетаний может обозначаться как.
Пример. Сколькими различными способами можно при шести подбрасываниях монеты получить 2 герба и 4 решки?
Решение. Так как порядок получения гербов и решек не важен, то, применяя правило 7, получим.
Пример. Сколько разных комитетов из двух химиков и одного физика может быть сформировано на факультете небольшого колледжа, имеющего 4 химика и 3 физика.
Решение. Число комбинаций из четырех химиков по 2 может быть получено (шестью) способами.
Один из трех физиков может быть выбран (тремя) способами.
Число комитетов, в соответствии с правилом 1, определяется как 6·3=18.
Пример. Сколькими способами можно разбить ряд из четырех объектов на три ряда, содержащих соответственно два, один и один объекта?
Решение. Обозначим данные четыре объекта буквами a, b, c, d. Число разбиений на два, один и один будет 12:
Разбиение из двух объектов можно получить способами, что дает 6 возможностей. Число способов сформировать второе разбиение. И для третьего разбиения число способов равно 1.
Согласно правилу 2 всего способов разбиения (6·2·1)=12.
Обобщая данный пример, получаем следующее правило.
Правило 8. Число способов, с помощью которых ряд из n различных объектов может быть разбит на k частей с n1 объектами в 1-й части, n2 во 2-й части, … и nk в k-й, определяется как
Пример. Сколькими способами 7 бизнесменов могут быть размещены в одном трехкомнатном и двух двухкомнатных номерах в отеле?
Решение. Согласно правилу 8 это можно сделать (двухсотдесятью) способами.
Доказательство правила 8
Так как n1 объектов могут быть выбраны в ряд способами, n2 могут быть выбраны
Согласно правилу 2 всего число способов будет определяться в виде
Задание для самостоятельной работы
1. Десять книг на одной полке расставляются наудачу. Определить вероятность того, что три определенные книги окажутся рядом.
Ответ: 0.066.
2. Из колоды карт (52 карты) наудачу извлекаются три карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз.
Ответ: 0.0029.
3. Имеются пять билетов стоимостью по 1 рублю;
три билета стоимостью по 3 рубля;
два билета стоимостью по 5 рублей.
Наугад выбирается три билета. Определить вероятность того, что:
а) хотя бы два из этих билетов имеют одинаковую стоимость.
Ответ: 0.75;
б) все три билета стоят 7 рублей.
Ответ: 0.29.
4. В кошельке лежат три монеты достоинством по 20 копеек и семь монет достоинством по 3 копейки. Наудачу берется одна монета, а затем извлекается вторая монета достоинством в 20 копеек.
Определить вероятность того, что и первая монета имеет достоинство в 20 копеек.
Ответ: 0.22.
- 5. Из десяти билетов лотереи выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов:
- а) один выигрышный;
- б) два выигрышных;
- в) хотя бы один выигрышный.
Ответ: 0.55, 0.22, 0.78.
6. В корзине имеется n шаров с номерами от 1 до n, шары извлекаются наудачу по одному без возвращения. Какова вероятность того, что при k первых извлечениях номера шаров совпадут с номерами извлечений.
Ответ: (n - k)!/n!
Использованная литература
- 1. http://kurs.ido.tpu.ru/courses/theory_ver/tema2/tema2.html
- 2. http://free.megacampus.ru/xbookM0018/index.html?go=part-003*page.htm
- 3. http://www.testent.ru/publ/studenty/vysshaja_matematika/klassicheskoe_opredelenie_verojatnosti/35-1-0-1121
- 4. http://ru.wikipedia.org/
- 5. http://www.kolasc.net.ru/cdo/books/tv/page15.html
