Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям. Урок "Уравнения, приводимые к квадратным. Биквадратные уравнения"
Государственное бюджетное профессиональное общеобразовательное учреждение
«Невинномысский энергетический техникум»
Методическая разработка открытого занятия по дисциплине «Математика»
Тема занятия :
Уравнения, приводящиеся к квадратным
уравнениям.
Преподаватель математики:
Скрыльникова Валентина Евгеньевна
Невинномысск 2016 год.
Цели урока: Слайд №2
Обучающие: способствовать организации деятельности учащихся по восприятию,
осмыслению и первичному запоминанию новых знаний (метод введения новой переменной, определение биквадратного уравнения) и способов
действий (научить решать уравнения методом введения новой
переменной), помочь учащимся осознать социальную и личностную
значимость учебного материала;
Развивающие: способствовать повышению вычислительной способности учащихся;
развитию устной математической речи; создать условия для
формирования навыков самоконтроля и взаимоконтроля,
алгоритмической культуры учащихся;
Воспитательные: способствовать воспитанию доброжелательного отношения
друг к другу.
Тип урока: изучение нового материала,.
Методы: словесный, наглядный, практический, поисковый
Формы работы : индивидуальная, парная, коллективная
Оборудование: интерактивная доска, презентация
Ход урока.
I. Организационный момент.
Отметить отсутствующих, проверить готовность класса к уроку.
Преподаватель: Ребята, мы начинаем изучение новой темы. Тему урока пока не записываем, вы ее сформулируете сами чуть попозже. Скажу лишь, что речь пойдет об уравнениях.
Слайд № 3.
Посредством уравнений, теорем
Он уйму всяких разрешил проблем.
И засуху предсказал, и ливни –
Поистине его познанья дивны.
Госер.
Вы, ребята, уже решили не один десяток уравнений, Задачи с помощью уравнений можете решать. С помощью уравнений можно описать различные явления в природе, физические, химические явления, даже рост населения в стране описывается уравнением. Сегодня на уроке мы с вами познаем еще одну истину, истину, касающуюся метода решения уравнений.
II. Актуализация знаний.
Но для начала, давайте вспомним:
Вопросы: Слайд4
Какие уравнения называются квадратными? (Уравнение вида, где х – переменная, - некоторые числа, причем а≠0.)
Среди данных уравнений выберите те, которые являются квадратными?
1) 4х – 5 = х + 11
2) х 2 +2х = 3
3) 2х + 6х 2 = 0
4) 2х 3 – х 2 – 4 = 8
5) 4х 2 – 1х + 7 = 0 Ответ:(2,3,5)
Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями? (Уравнения, в которых хотя бы один из коэффициентов в или с равен 0.)
Среди данных уравнений выберите те, которые являются неполными квадратными уравнениями.(3)
Тест-прогноз
1) 3х-5х 2 +2=0
2) 2х 2 +4х-6=0
3) 8х 2 -16=0
4) х 2 -4х+10=0
5) 4х 2 +2х=0
6) –2х 2 +2=0
7) -7х 2 =0
8) 15-4х 2 +3х=0
1вариант
1) Выпишите номера полных квадратных уравнений.
2) Выпишите коэффициенты а, в, с в уравнении 8.
3) Выпишите номер неполного квадратного уравнения, имеющего один корень.
4) Выпишите коэффициенты а, в, с в уравнении 6.
5) Найдите Д в уравнении 4 и сделайте вывод о количестве корней.
2вариант
1)Выпишите номера неполных квадратных уравнений.
2)Выпишите коэффициенты а, в, с в уравнении 1.
3)Выпишите номер неполного квадратного уравнения, имеющего один корень 0.
4)Выпишите коэффициенты а, в, с в уравнении 3.
5)Найдите Д в уравнении 3и сделайте вывод о количестве корней.
Учащиеся меняются тетрадями, выполняют взаимопроверку и выставляют оценки.
1в.
1,2,4,8
а=-4, в=3,с=15
а=-2, в=0,с=2
24, Д<0, корней нет
2в.
3,5,6,7
а=-5, в=3,с=2
а=8, в=0,с=-16
Д>0, 2корня.
Игра «Угадай слово».
А теперь вы должны угадать слово, которое записано на доске. Для этого вам необходимо решить уравнения и найти для них правильные ответы. Каждому ответу соответствует буква, а каждой букве соответствует номер карточки и номер в таблице которому соответствует данная буква. На доске изображены таблица №1 полностью и таблица, №2 в которой, записаны только цифры, буквы по мере решения примеров вписывает преподаватель. Преподаватель раздает карточки с квадратными уравнениями каждому студенту. Каждая карточка пронумерована. Студент решает квадратное уравнение и получает ответ -21. В таблице находит свой ответ и узнает, какая буква соответствует его ответу. Это буква А. Затем говорит преподавателю, какая у него буква и называет номер карточки. Номер карточки соответствует месту буквы в таблице №2. Например ответ -21 буква А номер карточки 5. Преподаватель в таблице №2 под цифрой 5 записывает букву А и т.д. пока выражение не будет полностью записано.
х 2 -5х+6=0 (2;3) Б
х 2 -2х-15=0 (-3;5) И
х 2 +6х+8=0 (-4;-2) К
х 2 -3х-18=0 (-3;6) В
х 2- 42х+441=0 -21 А
х 2 +8х+7=0 (-7;-1) Д
х 2 -34х+289=0 17 Р
х 2 -42х+441=0 -21 А
х 2 +4х-5=0 (-5;1) Т
2х 2 +3х+1=0 (-1;-) Н
3х 2 -3х+4=0 Корней нет О
5х 2 -8х+3=0 (;1) Е
х 2 -8х+15=0 (3;5) У
х 2 -34х+289=0 17 Р
х 2 -42х+441=0 -21 А
х 2 -3х-18=0 (-3;6) В
2х 2 +3х+1=0 (-1;-) Н
5х 2 -8х+3=0 (;1) Е
2х 2 +3х+1=0 (-1;-) Н
х 2 -2х-15=0 (-3;5) И
5х 2 -8х+3=0 (;1) Е
Таблица 1.
(;1)(-3;5)
(-4;-2)
(-1;-)
Корней нет
(-5;1)
(3;5)
Соответствующая ему буква
Таблица 2
Итак, мы с вами таким образом сформулировали тему сегодняшнего занятия.
«Биквадратное уравнение.»
III. Изучение нового материала
Вы уже знаете способы решения квадратных уравнений различных видов. Сегодня на уроке мы переходим к рассмотрению уравнений, приводящихся к решению квадратных уравнений. Одним из таких видов уравнений является биквадратное уравнение.
Опр. Уравнения вид ax 4 +bx 2 +c= 0 , где а 0, называется биквадратным уравнением .
БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ – от би – два и латинского quadratus – квадратный, т.е. дважды квадратные.
Пример 1. Решим уравнение
Решение. Решение биквадратных уравнений приводится к решению квадратных уравнений подстановкой у = х 2 .
Для нахождения х возвращаемся к замене:
x 1 = 1; x 2 = -1 x 3 =; x 4 = - Ответ:-1; -1
Из рассмотренного примера видно, что для приведения уравнения четвертой степени к квадратному ввели другую переменную - у . Такой метод решения уравнений называют методом введения новых переменных.
Для решения уравнений, приводящихся к решению квадратных уравнений методом введения новой переменной, можно составить следующий алгоритм:
1) Ввести замену переменной: пусть х 2 = у
2) Составить квадратное уравнение с новой переменной: ау 2 + ву + с = 0
3) Решить новое квадратное уравнение
4) Вернуться к замене переменной
5) Решить получившиеся квадратные уравнения
6) Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения
7) Записать ответ
Решение не только биквадратных, но и некоторых других видов уравнений сводится к решению квадратных уравнений.
Пример 2. Решим уравнение
Решение. Введем новую переменную
корней нет.
Корней нет
Ответ:
-
IV. Первичное закрепление
Мы с вами учились вводить новую переменную, вы устали, поэтому немного отдохнем.
Физминутка
1. Зажмурить глаза. Открыть глаза (5 раз).
2. Круговые движения глазами. Головой не вращать (10 раз).
3. Не поворачивая головы, отвести глаза как можно дальше влево. Не моргать. Посмотреть прямо. Несколько раз моргнуть. Закрыть глаза и отдохнуть. То же самое вправо (2-3 раза).
4. Смотреть на какой-либо предмет, находящийся перед собой, и поворачивать голову вправо и влево, не отрывая взгляда от этого предмета (2-3 раза).
5. Смотреть в окно вдаль в течение 1 минуты.
6. Поморгать 10-15 с.
Отдохнуть, закрыв глаза.
Итак, мы открыли новый метод решения уравнений, однако успешность решения уравнений этим методом зависит от правильности составления уравнения с новой переменной, давайте остановимся на этом этапе решения уравнений более подробно. Научимся вводить новую переменную и составлять новое уравнение, карточка № 1
Карточка у каждого ученика
КАРТОЧКА № 1
Запишите уравнение, полученное в результате введения новой переменной
х 4 -13х 2 +36=0
пусть у= ,
тогда
х 4 +3х 2 -28 = 0
пусть у=
тогда
(3х–5) 2 – 4(3х–5)=12
пусть у=
тогда
(6х+1) 2 +2(6х+1) –24=0
пусть у=
тогда
х 4 – 25х 2 + 144 = 0
пусть у=
тогда
16х 4 – 8х 2 + 1 = 0
пусть у=
тогда
Проверка знаний:
х 4 -13х 2 +36=0
пусть у= х 2 ,
тогда у 2 -13у+36=0
х 4 +3х 2 -28 = 0
пусть у=х 2 ,
тогда у 2 +3у-28=0
(3х–5) 2 – 4(3х–5)=12
пусть у=3х-5,
тогда у 2 -4у-12=0
(6х+1) 2 +2(6х+1) –24=0
пусть у= 6х+1,
тогда у 2 +2у-24=0
х 4 – 25х 2 + 144 = 0
пусть у= х 2 ,
тогда у 2 -25у+144=0
16х 4 – 8х 2 + 1 = 0
пусть у= х 2 ,
тогда 16у 2 -8у+1=0
Решение примеров у доски:
(t 2 -2 t ) 2 -2(t 2 -2 t )-3=0 Ответ: -1;1;3.
(2х 2 +х-1)(2х 2 +х-4)=40 Ответ: -3;2
Самостоятельная работа:
Вариант 1 Вариант 2
1)х 4 -5х 2 -36=0 1) х 4 -6х 2 +8=0
2)(2х 2 +3) 2 -12(2х 2 +3)+11=0 2) (х 2 +3) 2 -11(х 2 +3)+28=0
Ответы:
Вариант 1 Вариант 2
1) -3;3 1) -;-2;2
2) -2;2 2) -1;1;-2;2.
V. Итоги урока
Чтобы подвести итог урока, сделать выводы, что удалось или не удалось прошу закончить предложения на листах.
- Было интересно, потому что..
- Я бы хотел(а) похвалить себя за то, что…
- Урок я бы оценил(а) на…
VI. Домашнее задание :
(2х 2 +х-1)(2х 2 +х-4)+2=0
(х 2 -4х) 2 +9(х 2 -4х)+20=0
(х 2 +х)(х 2 +х-5)=84
Общая теория решения задач при помощи уравнений
Перед тем, как перейти к конкретным видам задач приведем сначала общую теорию для разрешения различных задач с помощью уравнений. Прежде всего к уравнениям сводят задачи в таких дисциплинах как экономика, геометрия, физика и многих других. Общий порядок для решения задач при помощи уравнений заключается в следующем:
- Все искомые нами величины из условия задачи, а также какие либо вспомогательные обозначаются удобными для нас переменными. Чаще всего этими переменными выступают последние буквы латинского алфавита.
- Используя данные в задачи числовые значения, а также словесные соотношения составляется одно или несколько уравнений (в зависимости от условия задачи).
- Разрешают полученное уравнение или их систему и выкидывают «не логичные» решения. К примеру, если надо найти площадь, то отрицательное число, очевидно, будет посторонним корнем.
- Получаем окончательный ответ.
Пример задачи в алгебре
Здесь мы приведем пример задачи, сводящейся к квадратному уравнению без опоры на какую-либо конкретную область.
Пример 1
Найдите два таких иррациональных числа при сложении квадратов которых будет получаться пятерка, а при их обычном сложении друг с другом тройка.
Обозначим эти числа буквами $x$ и $y$. По условию задачи довольно легко составить два уравнения $x^2+y^2=5$ и $x+y=3$. Видим, что одно из них является квадратным. Для нахождения решения нужно решить систему:
$\cases{x^2+y^2=5,\\x+y=3.}$
Вначале выражаем из второго $x$
Подставляя в первое и производим элементарные преобразования
$(3-y)^2 +y^2=5$
$9-6y+y^2+y^2=5$
Мы перешли к решению квадратного уравнения. Сделаем это с помощью формул. Найдем дискриминант:
Первый корень
$y=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$
Второй корень
$y=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$
Найдем вторую переменную.
Для первого корня:
$x=3-\frac{3+\sqrt{17}}{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$
Для второго корня:
$x=3-\frac{3-\sqrt{17}}{2}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$
Так как последовательность чисел нам не важна получаем одну пару чисел.
Ответ: $\frac{3-\sqrt{17}}{2}$ и $\frac{3+\sqrt{17}}{2}$.
Пример задачи в физике
Рассмотрим пример задачи, приводящейся к решению квадратного уравнения в физике.
Пример 2
Вертолет, летящий равномерно в безветренную погоду имеет скорость $250$ км/ч. Ему необходимо со своей базы долететь до места пожара, которое находится в $70$ км от нее и вернуться обратно. В это время ветер дул в сторону базы, замедляя движение вертолета к лесу. Из-за чего обратно до базы он добирался на 1 час раньше. Найдите скорость ветра.
Обозначим скорость ветра через $v$. Тогда мы получим, что в сторону леса вертолет будет лететь с реальной скоростью, равной $250-v$, а обратно его реальная скорость будет составлять $250+v$. Посчитаем время на путь туда и на путь обратно.
$t_1=\frac{70}{250-v}$
$t_2=\frac{70}{250+v}$
Так как обратно до базы вертолет добирался на $1$ час раньше, будем иметь
$\frac{70}{250-v}-\frac{70}{250+v}=1$
Приведем левую часть к общему знаменателю, применим правило пропорции и произведем элементарные преобразования:
$\frac{17500+70v-17500+70v}{(250-v)(250+v)}=1$
$140v=62500-v^2$
$v^2+140v-62500=0$
Получили квадратное уравнение, для решения данной задачи. Решим его.
Будем решать его с помощью дискриминанта:
$D=19600+250000=269600≈519^2$
Уравнение имеет два корня:
$v=\frac{-140-519}{2}=-329.5$ и $v=\frac{-140+519}{2}=189.5$
Так как мы искали скорость (которая не может быть отрицательна), очевидно, что первый корень лишний.
Ответ: $189.5$
Пример задачи в геометрии
Рассмотрим пример задачи, приводящейся к решению квадратного уравнения в геометрии.
Пример 3
Найдите площадь прямоугольного треугольника, который удовлетворяет следующим условиям: его гипотенуза равняется $25$, а катеты по длине относятся как $4$ к $3$.
Для того, чтобы найти искомую площадь нам нужно найти катеты. Отметим одну часть катета через $x$. Тогда выражая через эту переменную катеты получим что их длины равняются $4x$ и $3x$. Таким образом, из теоремы Пифагора мы можем составить следующее квадратное уравнение:
$(4x)^2+(3x)^2=625$
(корень $x=-5$ можно не рассматривать, так как катет не может быть отрицателен)
Получили, что катеты равны $20$ и $15$ соответственно, то ест площадь
$S=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 15=150$
В этой статье я покажу вам алгоритмы решения семи типов рациональных уравнений , которые с помощью замены переменных сводятся к квадратным. В большинстве случаев преобразования, которые приводят к замене, весьма нетривиальны, и самостоятельно о них догадаться достаточно трудно.
Для каждого типа уравнений я объясню, как в нем делать замену переменной, а затем в соответствующем видеоуроке покажу подробное решение.
У вас есть возможность продолжить решение уравнений самостоятельно, а затем сверить свое решение с видеоуроком.
Итак, начнем.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Заметим, что в левой части уравнения стоит произведение четырех скобок, а в правой - число.
1. Сгруппируем скобки по две так, чтобы сумма свободных членов была одинаковой.
2. Перемножим их.
3. Введем замену переменной.
В нашем уравнении сгруппируем первую скобку с третьей, а вторую с четвертой,так как (-1)+(-4)=(-7)+2:
В этом месте замена переменной становится очевидной:
Получаем уравнение 
Ответ:
2 .
Уравнение этого типа похоже на предыдущее с одним отличием: в правой части уравнения стоит произведение числа на . И решается оно совсем по-другому:
1. Группируем скобки по две так, чтобы произведение свободных членов было одинаковым.
2. Перемножаем каждую пару скобок.
3. Из каждого множителя выносим за скобку х.
4. Делим обе части уравнения на .
5. Вводим замену переменной.
В этом уравнении сгруппируем первую скобку с четвертой, а вторую с третьей, так как :
Заметим, что в каждой скобке коэффициент при и свободный член одинаковые. Вынесем из каждой скобки множитель :
Так как х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим обе части уравнения на . Получим:
Получим уравнение: 
Ответ:
3
. 
Заметим, что в знаменателях обоих дробей стоят квадратные трехчлены, у которых старший коэффициент и свободный член одинаковые. Вынесем, как и в уравнении второго типа х за скобку. Получим:
Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:
Теперь можем ввести замену переменной:
Получим уравнение относительно переменной t:
4 .
Заметим, что коэффициенты уравнения симметричны относительно центрального. Такое уравнение называется возвратным .
Чтобы его решить,
1. Разделим обе части уравнения на (Мы можем это сделать, так как х=0 не является корнем уравнения.) Получим:
2. Сгруппируем слагаемые таким образом:
3. В каждой группе вынесем за скобку общий множитель:
4. Введем замену:
5. Выразим через t выражение :
Отсюда 
Получим уравнение относительно t:
Ответ:
5. Однородные уравнения.
Уравнения, имеющие структуру однородного, могут встретиться при решении показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений, поэтому ее нужно уметь распознавать.
Однородные уравнения имеют такую структуру:
В этом равенстве А, В и С - числа, а квадратиком и кружочком обозначены одинаковые выражения. То есть в левой части однородного уравнения стоит сумма одночленов, имеющих одинаковую степень (в данном случае степень одночленов равна 2), и свободный член отсутствует.
Чтобы решить однородное уравнение, разделим обе части на
Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.
Пойдем первым путем. Получим уравнение:
Теперь мы вводим замену переменной:
Упростим выражение и получим биквадратное уравнение относительно t:
Ответ: или
7
. 
Это уравнение имеет такую структуру:
Чтобы его решить, нужно в левой части уравнения выделить полный квадрат.
Чтобы выделить полный квдарат, нужно прибавить или вычесть удовоенное произведение. Тогда мы получим квадрат суммы ли разности. Для удачной замены переменной это имеет определяющее значение.
Начнем с нахождения удвоенного произведения. Именно оно будет ключиком для замены переменной. В нашем уравнении удвоенное произведение равно
Теперь прикинем, что нам удобнее иметь - квадрат суммы или разности. Рассмотрим, для начала сумму выражений:
Отлично! это выражении в точности равно удвоенному произведению. Тогда, чтобы в скобках получить квадрат суммы, нужно прибавить и вычесть удвоенное произведение:
Тема урока: Решение уравнений, которые сводятся к квадратным.
Цели урока:
образовательная: Познакомить учащихся с биквадратным уравнением, опираясь на предыдущий опыт учащихся по решению квадратных уравнений, закрепить умение решать уравнения, приводимые к квадратным способом подстановки и определять, какую подстановку рациональнее делать.
развивающая: способствовать развитию внимания, логического мышления, умений анализировать, сравнивать и делать выводы.
воспитывающая: развитие умения планировать работу, искать рациональные пути ее выполнения, способности аргументировано отстаивать свое мнение
Ход урока.
1. Организационный момент.
Здравствуйте, ребята.
Среди наук из всех главнейших
Важнейшая всего одна.
Учите алгебру, она глава наукам,
Для жизни очень всем нужна,
Когда достигнешь ты наук высоты,
Познаешь цену знаниям своим,
Поймешь, что алгебры красоты,
Для жизни будут кладом не плохим.
2. Мотивация урока.
Эпиграфом нашего урока являются словаГалилео Галилей «Без упорного умственного труда никто не может далеко продвинуться в математике. Но каждый, кому знакома радость познания, кто увидел красоту математики, не будет жалеть затраченных усилий». Д ля того чтобы успешно решать уравнения, сводящиеся к квадратным, необходимо хорошо знать теорию решения этих самых квадратных уравнений. Поэтому повторим необходимые в дальнейшем понятия и формулы. И. П. Павлов «Изучите азы науки, прежде чем взойти на ее вершины. Никогда не беритесь за последующее, не усвоив предыдущее»
3. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.
Тест «Продолжить фразу» (последующая самопроверка и оценка знаний).
Квадратным уравнением называется уравнение вида …
Корни квадратного уравнения находятся по формуле …
Количество корней квадратного уравнения зависит от …
Приведённым квадратным уравнением называется уравнение вида …
Способы решения квадратных уравнений: …
Какие уравнения называются дробными рациональными?
Алгоритм решения дробных рациональных уравнений.
Основное свойство пропорции.
Когда дробь равна 0?
Решение уравнения x-8x -9 = 0 известными способами.
4.Изучение нового материала.
Биквадратные уравнения
| Биквадратное уравнение: ax 4 + bx 2 + c = 0 |
||
| Алгоритм решения |
||
| Сделать замену переменной: | x 2 = t |
|
| Получится: | at 2 + bt + c = 0 |
|
| Найти корни квадратного уравнения: | t
1,2
= |
|
| Обратная подстановка: | ||
| Если tk | Корней нет |
|
| Таким образом, биквадратное уравнение может иметь от 0 до 4 решений. |
||
| Вопросы: Покажите общий вид биквадратного уравнения. Приведите алгоритм решения биквадратного уравнения. Сколько корней может иметь биквадратное уравнение? |
||
Рассмотреть решение примера учебника.
Решение № 733(1, 2, 4)
Метод введения новой переменной
Предложите способы решения следующего уравнения:
Составление алгоритма решения уравнений, сводящихся к квадратным.
Алгоритм решения:
Ввести замену переменной
Составить квадратное уравнение с новой переменной
Решить новое квадратное уравнение
Урок № 1
Тип урока: урок изучения нового материала.
Форма урока: беседа.
Цель: сформировать умения решать уравнения, приводимые к квадратным.
Задачи:
- познакомить учащихся с одним из способов решения уравнений;
- отработать навыки решения таких уравнений;
- создать условия для формирования интереса к предмету и развития логического мышления;
- обеспечить личностно-гуманные взаимоотношения между участниками учебного процесса.
План урока:
1. Организационный момент.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление нового материала.
5. Домашнее задание.
6. Итог урока.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
Учитель: «Ребята, сегодня мы начинаем изучать важную и интересную тему «Уравнения, приводимые к квадратным». Понятие квадратного уравнения вам известно. Давайте вспомним, что мы знаем по данной теме».
Школьникам предлагается инструкция:
- Вспомните определения, связанные с данной темой.
- Вспомните методы решения известных уравнений.
- Вспомните свои затруднения при выполнении заданий по темах, которые «близки» с данной.
- Вспомните способы преодоления затруднений.
- Продумайте возможные исследовательские задания и пути их выполнения.
- Вспомните, где применялись ранее решаемые задачи.
Ученики вспоминают вид полного квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения, условия решения полного квадратного уравнения, методы решений неполных квадратных уравнений, понятие целого уравнения, понятие степени.
Учитель предлагает решить следующие уравнения (работа в парах):
а) х 2 – 10х + 21 = 0
б) 3х 2 + 6х + 8 = 0
в) х (х – 1) + х 2 (х – 1) = 0
Один из учеников комментирует решение этих уравнений.
3. Изучение нового материала
Учитель предлагает рассмотреть и решить следующее уравнение (проблемная задача):
(х 2 – 5х + 4) (х 2 – 5х + 6) = 120
Ученики говорят о степени данного уравнения,
предлагают перемножить данные множители. Но есть
учащиеся, которые замечают одинаковые члены в
данном уравнении. Какой же метод решения можно
здесь применить?
Учитель предлагает ученикам обратиться к
учебнику (Ю. Н. Макарычев «Алгебра-9» п.
11, стр. 63) и разобраться в решении этого уравнения.
Класс разбивается на две группы. Те учащиеся,
которые поняли метод решения, выполняют
следующие задания:
а) (х 2 + 2х) (х 2 +2х + 2) = –1
б) (х 2 – 7) 2 – 4 (х 2 – 7) – 45 = 0,
остальные составляют алгоритм решения таких уравнений и разбирают решение следующего уравнения вместе с учителем.
(2х 2 + 3) 2 – 12(2х 2 + 3) + 11 = 0.
Алгоритм:
– введите новую переменную;
– составьте уравнение, содержащее эту
переменную;
– решите уравнение;
– подставьте найденные корни в подстановку;
– решите уравнение с начальной переменной;
– проверьте найденные корни, запишите ответ.
4. Закрепление нового материала
Работа в парах: «сильный» – объясняет, «слабый» повторяет, решает.
Решите уравнение:
а) 9х 3 – 27х 2 = 0
б) х 4 – 13х 2 + 36 = 0
Учитель: «Давайте вспомним, где мы еще использовали решение квадратных уравнений?»
Ученики:
«При решении неравенств; при
нахождении области определения функции; при
решении уравнений с параметром».
Учитель предлагает задания по выбору. Класс
делится на 4 группы. Каждая группа объясняет
решение своего задания.
а) Решить уравнение:
б) Найти область определения функции:
в) При каких значениях а уравнение не имеет корней:
г) Решить уравнение: х + – 20 = 0.
5. Домашнее задание
№ 221(а, б, в), № 222(а, б, в).
Учитель предлагает подготовить сообщения:
1. «Исторические сведения о создании данных
уравнений» (по материалам сети Интернет).
2. Методы решения уравнений на страницах журнала
«Квант».
Задания творческого характера выполняют по желанию в отдельных тетрадях:
а) х 6 + 2х 4 – 3х 2 = 0
б) (х 2 + х) / (х 2 + х – 2) – (х 2 + х – 5) / (х 2 + х – 4) = 1
6. Итог урока
Ребята рассказывают, что нового узнали на уроке, какие задания вызывали трудности, где применяли, как оценивают свою деятельность.
Урок № 2
Тип урока: урок закрепления умений и навыков.
Форма урока: урок практикум.
Цель: закрепить полученные знания, сформировать умение решать уравнения по данной теме.
Задачи:
- выработать умения решать уравнения, приводимые к квадратным;
- развивать навыки самостоятельного мышления;
- развивать умение проводить анализ, поиск недостающей информации;
- воспитывать активность, самостоятельность, дисциплинированность.
План урока:
1. Организационный момент.
2. Актуализация субъектного опыта учащихся.
3. Решение задач.
4. Самостоятельная работа.
5. Домашнее задание.
6. Итог урока.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
Учитель: «На прошлом уроке мы познакомились с уравнениями, приводимыми к квадратным. А кто из математиков внес вклад в решение уравнений третьей и четвертой степеней?»
Ученик, подготовивший сообщение, рассказывает об итальянских математиках 16 века.
2. Актуализация субъектного опыта
1) Проверка домашнего задания
К доске вызывается ученик, который решает уравнения, аналогичные домашним:
а) (х 2 – 10) 2 – 3 (х 2 – 10) – 4 = 0
б) х 4 – 10 х 2 + 9 = 0
В это время для ликвидации пробелов в знаниях «слабые» учащиеся получают карточки. «Слабый» комментирует решение «сильному» ученику, «сильный» отмечает решение значками «+» или «–».
2)Повторение теоретического материала
Ученикам предлагается заполнить таблицу вида:
Третью колонку учащиеся заполняют в конце
урока.
Проверяется задание, выполненное на доске.
Образец решения остается на доске.
3. Решение задач
Учитель предлагает на выбор две группы уравнений. Класс делится на две группы. Одна выполняет задания по образцу, другая – ищет новые методы решения уравнений. Если решения вызывают трудности, то учащиеся могут обратиться к образцу – рассуждению.
а) (2х 2 + 3) 2 – 12 (2х 2 + 3) + 11 = 0 а) (5х – 63) (5 х – 18) = 550
б) х 4 – 4х 2 + 4 = 0 б) 2х 3 – 7 х 2 + 9 = 0
Первая группа комментирует свое решение, вторая проверяет решение через кодоскоп и комментирует свои методы решения.
Учитель: Ребята, давайте рассмотрим одно интересное уравнение: (х 2 – 6 х – 9) 2 = х (х 2 – 4 х – 9).
– Каким методом вы предлагаете его решить?
Ученики приступают к обсуждению проблемной
задачи в группах. Они предлагают раскрыть скобки,
привести подобные слагаемые, получить целое
алгебраическое уравнение четвертой степени и
среди делителей свободного члена найти целые
корни, если они есть; затем разложить на
множители и найти корни данного уравнения.
Учитель одобряет алгоритм решения и предлагает
рассмотреть еще один метод решения.
Обозначим х 2 – 4х – 9 = t , тогда х 2 – 6х – 9 = t – 2х. Получим уравнение t 2 – 5tx + 4x 2 = 0 и решим его относительно t.
Исходное уравнение распадается на совокупность двух уравнений:
х 2 – 4 х – 9 = 4х х = – 1
х 2 – 4 х – 9 = х х = 9
х = (5 + 61)/2 х = (5 – 61)/2
4. Самостоятельная работа
На выбор ученикам предлагаются следующие уравнения:
а) х 4 – 6 х 2 + 5 = 0 а) (1 – у 2) + 7 (1 – у 2) + 12 = 0
б) (х 2 + х) 2 – 8 (х 2 + х) + 12 = 0 б) х 4 + 4 х 2 – 18 х 2 – 12 х + 9 = 0
в) х 6 + 27 х 4 – 28 = 0
Учитель комментирует уравнения каждой группы,
обращает внимание, что уравнение под
пунктом в)
позволяет учащимся
углубить свои знания и умения.
Самостоятельная работа выполняется на листках
через копирку.
Учащиеся проверяют решения через кодоскоп,
обменявшись тетрадями.
5. Домашнее задание
№ 223(г, д, е), № 224(а, б) или № 225, № 226.
Творческое задание.
Определить степень уравнения и вывести формулы Виета для этого уравнения:
6. Итог урока
Учащиеся возвращаются к заполнению графы таблицы «Я узнал».
Урок №3
Тип урока: урок обзора и систематизации знаний.
Форма урока: урок – соревнование.
Цель урока: учить правильно оценивать свои знания и умения, правильно соотносить свои возможности с предлагаемыми заданиями.
Задачи:
- научить комплексно применять свои знания;
- выявить глубину и прочность умений и навыков;
- содействовать рациональной организации труда;
- воспитывать активность, самостоятельность.
План урока:
1. Организационный момент.
2. Актуализация субъектного опыта учащихся.
3. Решение задач.
4. Самостоятельная работа.
5. Домашнее задание.
6. Итог урока.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
Учитель: «Сегодня мы проведем необычный урок, урок-соревнование. Вы уже знакомы с прошлого урока с итальянскими математиками Фиори, Н. Тарталья, Л. Феррари, Д. Кардано.
12 февраля 1535 года между Фиори и Н. Тартальей
состоялся научный поединок, на котором Тарталья
одержал блестящую победу. Он за два часа решил
все предложенные Фиори тридцать задач, в то время
как Фиори не решил ни одной задачи Тартальи.
Сколько уравнений вы сможете решить за урок?
Какие способы при этом выберите? Итальянские
математики предлагают вам свои уравнения».
2. Актуализация субъектного опыта
Устная работа
1) Какие из чисел: – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 являются корнями уравнения:
а) х 3 – х = 0 б) у 3 – 9 у = 0 в) у 3 + 4 у = 0?
– Сколько решений может иметь уравнение
третьей степени?
– Какой способ вы будете использовать при
решении данных уравнений?
2) Проверьте решение уравнения. Найдите допущенную ошибку.
х 3 – 3х 2 + 4х – 12 = 0
х 2 (х – 3) + 4(х – 3) = 0
(х – 3)(х 2 + 4) = 0
(х – 3)(х + 2)(х – 2) = 0
х = 3, х = – 2, х = 2.
Работа в парах. Учащиеся объясняют способы решения уравнений, допущенную ошибку.
Учитель: «Вы, молодцы! Вы выполнили первое задание итальянских математиков».
3. Решение задач
Два ученика у доски:
а) Найдите координаты точек пересечения с осями
координат графика функции: 
б) Решите уравнение: 
Учащиеся класса на выбор выполняют одно или два задания. Ученики у доски последовательно комментируют свои действия.
4. «Сквозная» самостоятельная работа
Комплект карточек составлен по уровню сложности и с вариантами ответов.
1) х 4 – х 2 – 12 = 0
2) 16 х 3 – 32 х 2 – х + 2 = 0
3) (х 2 + 2 х) 2 – 7 (х 2 + 2 х) – 8 = 0
4) (х 2 + 3 х + 1) (х 2 + 3 х + 3) = – 1
5) х 4 + х 3 – 4 х 2 + х + 1 = 0
Варианты ответов:
1) а) – 2; 2 б) – 3; 3 в) нет решения
2) а) – 1/4; 1/4 б) – 1/4; 1/4; 2 в) 1/4; 2
3) а) – 4; 1; 2 б) –1; 1; – 4; 2 в) – 4; 2
4) а) – 2; – 1; б) – 2; – 1; 1 в) 1; 2
5) а) – 1; (– 3 + 5) /2 б) 1; (– 3 – 5) /2 в) 1; (– 3 – 5)/2; (–3 + 5) /2.
5. Домашнее задание
Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре: № 72, № 73 или № 76, № 78.
Дополнительное задание. Определите значение параметра а, при которых уравнение х 4 + (а 2 – а + 1) х 2 – а 3 – а = 0
а) имеет единственный корень;
б) имеет два различных корня;
в) не имеет корней.
