Частное решение дифференциального уравнения калькулятор подробно. Как решать дифференциальные уравнения
В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.
Эта статья предназначена тем, кто столкнулся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Теория построена так, что с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях, вы сможете справиться со своей задачей.
Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие метод решения с подробными пояснениями и решениями характерных примеров и задач. Вам остается лишь определить вид дифференциального уравнения Вашей задачи, найти подобный разобранный пример и провести аналогичные действия.
Для успешного решения дифференциальных уравнений с Вашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) различных функций. При необходимости рекомендуем обращаться к разделу .
Сначала рассмотрим виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производной, далее перейдем к ОДУ второго порядка, следом остановимся на уравнениях высших порядков и закончим системами дифференциальных уравнений.
Напомним, что , если y является функцией аргумента x .
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида .
Запишем несколько примеров таких ДУ 
.
Дифференциальные уравнения 
можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x)
. В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x)
≠ 0
. Примерами таких ОДУ являются .
Если существуют значения аргумента x
, при которых функции f(x)
и g(x)
одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения 
при данных x
являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести .
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения 
. При различных p
и q
возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими 
или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как 
, или 
, или соответственно.
Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения являются k 1 = -3
и k 2 = 0
. Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y
ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ 
и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x)
, стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем
Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) 
и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .
Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.
Общее решение ЛОДУ на некотором отрезке
представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1
и y 2
этого уравнения, то есть, 
.
Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:
Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.
Примером ЛОДУ является 
.
Общее решение ЛНДУ ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении мы только что говорили, а можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примера ЛНДУ можно привести 
.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Порядок дифференциального уравнения 
, которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1
порядка, может быть понижен до n-k
заменой .
В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y .
Например, дифференциальное уравнение 
после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.
I. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.1. Основные понятия и определения
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x , искомую функцию y и её производные или дифференциалы.
Символически дифференциальное уравнение записывается так:
F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0
Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.
Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая обращает это уравнение в тождество.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение
Примеры.
1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, , подставляя y" в уравнение, получим – тождество.
А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.
2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y" - 5y" +6y = 0 . Функция – решение этого уравнения.
Действительно, .
Подставляя эти выражения в уравнение, получим: , – тождество.
А это и значит, что функция – есть решение этого дифференциального уравнения.
Интегрированием дифференциальных уравнений называется процесс нахождения решений дифференциальных уравнений.
Общим решением дифференциального
уравнения
называется функция вида 
,в
которую входит столько независимых
произвольных постоянных, каков порядок
уравнения.
Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.
График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой .
Примеры
1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка
xdx + ydy = 0 , если y = 4 при x = 3.
Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим
Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде .
- общее решение дифференциального
уравнения.
Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.
Подставляя С=5 в общее решение, получим x 2 +y 2 = 5 2 .
Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.
2. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решением этого уравнения является всякая функция вида , где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения , получим: , .
Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство определяет различные решения уравнения .
Например, непосредственной подстановкой
можно убедиться, что функции 
являются решениями уравнения .
Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y" = f(x,y) удовлетворяющее начальному условию y(x 0) = y 0 , называется задачей Коши.
Решение уравнения y" = f(x,y) , удовлетворяющее начальному условию, y(x 0) = y 0 , называется решением задачи Коши.
Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y" = f(x,y) при условии y(x 0) = y 0 , означает найти интегральную кривую уравнения y" = f(x,y) которая проходит через заданную точку M 0 (x 0 ,y 0 ).
II. Дифференциальные уравнения первого порядка
2.1. Основные понятия
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y") = 0.
В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.
Уравнение y" = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида , которая содержит одну произвольную постоянную.
Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка .
Решением этого уравнения является функция .
Действительно, заменив в данном уравнении, его значением, получим
то есть 3x=3x
Следовательно, функция является общим решением уравнения при любом постоянном С.
Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1 в общее решение уравнения , получим откуда C = 0 .
Таким образом, частное решение получим из общего подставив в это уравнение, полученное значение C = 0 – частное решение.
2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y"=f(x)g(y) или через дифференциалы , где f(x) и g(y) – заданные функции.
Для тех y
, для которых ,
уравнение y"=f(x)g(y)
равносильно уравнению,
в котором переменная y
присутствует
лишь в левой части, а переменная x- лишь в
правой части. Говорят, «в уравнении y"=f(x)g(y
разделим переменные».
Уравнение вида
называется уравнением с разделёнными
переменными.
Проинтегрировав обе части уравнения
по x
, получим G(y) = F(x) + C
– общее
решение уравнения, где G(y)
и F(x)
–
некоторые первообразные соответственно
функций
и f(x)
, C
произвольная постоянная.
Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
Пример 1
Решить уравнение y" = xy
Решение. Производную функции y" заменим на
разделим переменные
проинтегрируем обе части равенства:
Пример 2
2yy" = 1- 3x 2 , если y 0 = 3 при x 0 = 1
Это-уравнение с разделенными
переменными. Представим его в
дифференциалах. Для этого перепишем данное
уравнение в виде 
Отсюда 
Интегрируя обе части последнего равенства, найдем
Подставив начальные значения x 0 = 1, y 0 = 3 найдем С 9=1-1+C , т.е. С = 9.
Следовательно, искомый частный интеграл
будет 
или 
Пример 3
Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом
Решение. Согласно условию
Это уравнение с разделяющимися
переменными. Разделив переменные, получим: 
Проинтегрировав обе части уравнения,
получим: 
Используя начальные условия, x = 2 и y = - 3 найдем C :
Следовательно, искомое уравнение имеет
вид 
2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y" = f(x)y + g(x)
где f(x) и g(x) - некоторые заданные функции.
Если g(x)=0 то линейное дифференциальное уравнение называется однородным и имеет вид: y" = f(x)y
Если то уравнение y" = f(x)y + g(x) называется неоднородным.
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y" = f(x)y задается формулой: где С – произвольная постоянная.
В частности, если С =0, то решением является y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет вид y" = ky где k - некоторая постоянная, то его общее решение имеет вид: .
Общее решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения y" = f(x)y + g(x)
задается формулой 
,
т.е. равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения данного уравнения.
Для линейного неоднородного уравнения вида y" = kx + b ,
где k и b - некоторые числа и частным решением будет являться постоянная функция . Поэтому общее решение имеет вид .
Пример . Решить уравнение y" + 2y +3 = 0
Решение. Представим уравнение в виде y" = -2y - 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .
Следовательно, где С – произвольная постоянная.
2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли
Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y" = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv , где u и v - неизвестные функции от x . Этот метод решения называется методом Бернулли.
Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка
y" = f(x)y + g(x)
1. Ввести подстановку y=uv .
2. Продифференцировать это равенство y" = u"v + uv"
3. Подставить y и y" в данное уравнение: u"v + uv" = f(x)uv + g(x) или u"v + uv" + f(x)uv = g(x) .
4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки:
5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию
Это уравнение с разделяющимися
переменными: 
Разделим переменные и получим: 
Откуда 
.
.
6. Подставить полученное значение v в уравнение (из п.4):
и найти функцию Это уравнение с разделяющимися переменными:
7. Записать общее решение в виде: 
,
т.е. .
Пример 1
Найти частное решение уравнения y" = -2y +3 = 0 если y =1 при x = 0
Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, .y" = u"v + uv"
Подставляя y и y" в данное уравнение, получим
Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобки
Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)
Получили уравнение с разделенными
переменными. Проинтегрируем обе части
этого уравнения:
Найдем функцию v
:
Подставим полученное значение v в уравнение Получим:
Это уравнение с разделенными переменными.
Проинтегрируем обе части уравнения:
Найдем функцию u = u(x,c)
Найдем общее решение: 
Найдем частное решение уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям y = 1
при
x = 0
:
III. Дифференциальные уравнения высших порядков
3.1. Основные понятия и определения
Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее производные не выше второго порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x,y,y",y") = 0
Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция вида , в которую входят две произвольные постоянные C 1 и C 2 .
Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего при некоторых значениях произвольных постоянных C 1 и C 2 .
3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y" + py" +qy = 0 , где p и q - постоянные величины.
Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y" + py" +qy = 0 .
2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив y" через r 2 , y" через r , y через 1:r 2 + pr +q = 0
Данный онлайн калькулятор позволяет решать дифференциальные уравнения онлайн. Достаточно в соответствующее поле ввести ваше уравнение, обозначая через апостроф " производную от функции и нажать на кнопку "решить уравнение". И система, реализованная на основе популярного сайта WolframAlpha выдаст подробное решение дифференциального уравнения абсолютно бесплатно. Вы можете также задать задачу Коши, чтобы из всего множества возможных решений выбрать частное соответствующее заданным начальным условиям. Задача Коши вводится в отдельном поле.
Дифференциальное уравнение
По умолчанию в уравнении функция y является функцией от переменной x . Однако вы можете задать своё обозначение переменной, если напишете, например, y(t) в уравнении, то калькулятор автоматически распознает, что y есть функция от переменной t . С помощью калькулятора вы сможете решать дифференциальные уравнения любой сложности и вида: однородные и неоднородные, линейные или нелинейные, первого порядка или второго и более высоких порядков, уравнения с разделяющимися или неразделяющимися переменными и т.д. Решение диф. уравнения даётся в аналитическом виде, имеет подробное описание. Дифференциальные уравнения очень часто встречаются в физике и математике. Без их вычисления невозможно решать многие задачи (особенно в математической физике).
Одним из этапов решения дифференциальных уравнений является интегрирование функций . Есть стандартные методы решений дифференциальных уравнений. Необходимо привести уравнения к виду с разделяющимися переменными y и x и отдельно проинтегрировать разделенные функции. Чтобы это сделать иногда следует провести определенную замену.
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.
Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными . Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово "обыкновенные".
Примеры дифференциальных уравнений:
(1) 
;
(3) 
;
(4) 
;
Уравнение (1) - четвёртого порядка, уравнение (2) - третьего порядка, уравнения (3) и (4) - второго порядка, уравнение (5) - первого порядка.
Дифференциальное уравнение n -го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n -го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.
Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) - производной второго порядка и функции; в уравнении (4) - независимой переменной; в уравнении (5) - функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x) , при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием .
Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .
Решение. Запишем данное уравнение в виде . Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления , есть первообразная для , т. е.
Это и есть решение данного дифференциального уравнения . Меняя в нём C , будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.
Общим решением дифференциального уравнения n -го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.
Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.
Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.
Пример 2.
Найти общее решение дифференциального уравнения
и частное решение при 
.
Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.
,
.
В результате мы получили общее решение -
данного дифференциального уравнения третьего порядка.
Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим
.
Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши . В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C , а затем частное решение уравнения при найденном значении C . Это и есть решение задачи Коши.
Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии .
Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем
Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:
При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных , в том числе сложных функций . Это видно на следующем примере.
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.
.
Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой) . Пусть , тогда .
Требуется взять dx и теперь - внимание - делаем это по правилам дифференцирования сложной функции , так как x и есть сложная функция ("яблоко" - извлечение квадратного корня или, что то же самое - возведение в степень "одна вторая", а "фарш" - самое выражение под корнем):
Находим интеграл:
Возвращаясь к переменной x , получаем:
.
Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.
Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x . Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.
