Магнитное поле плоского соленоида. Соленоид и электромагнит
Рис. 6.23. Магнитные силовые линии поля: 1 - соленоида; 2 - полосового магнита
Магнитное поле соленоида напоминает поле полосового магнита (рис. 6.23-2).
Если витки намотаны вплотную, то соленоид - это система круговых токов, имеющих одну ось.
Если считать соленоид достаточно длинным, то магнитное поле внутри соленоида однородно и направлено параллельно оси. Вне соленоида вдали от краев магнитное поле также должно иметь направление параллельное оси и на большом расстоянии от соленоида должно быть очень слабым. Поле убывает по закону
Подсчитаем поле внутри соленоида. Возьмем элемент соленоида длиной dh , находящийся на расстоянии h от точки наблюдения. Если катушка имеет n витков на единицу длины, то в выделенном элементе содержится ndh витков. Согласно формуле (6.11), этот элемент создает магнитное поле
|
|
Интегрируя по всей длине соленоида, получаем
|
|
Таким образом, поле в бесконечно длинном соленоиде дается выражением
На практике соленоиды бесконечно длинными не бывают. Для иллюстрации рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. Найти магнитное поле в середине соленоида конечной длины l (рис. 6.24). Сравнить с полем бесконечно длинного соленоида. При каких условиях разница составляет менее 0,5 %?
Рис. 6.24. Магнитное поле катушки конечной длины
В центре соленоида магнитное поле практически однородно и значительно превышает по модулю поле вне катушки
Решение. Магнитное поле в средней точке оси соленоида конечной длины l дается тем же интегралом (6.19), но с другими пределами интегрирования
|
|
Если длина соленоида много больше его диаметра (l >> 2R ), мы возвращаемся к формуле для поля в бесконечно длинном соленоиде (6.20). Относительная разница этих двух значений равна
По условию эта разница мала: , то есть мало отношение диаметра соленоида к его длине: 2R /l << 1. Поэтому можно воспользоваться формулой разложения квадратного корня
Подставляя численное значение d , находим, что разница будет менее половины процента при выполнении соотношения
Иными словами, соленоид может рассматриваться как бесконечно длинный, если его длина в двадцать или более раз превышает радиус.
Пример 2. Найти магнитное поле В е в крайней торцевой точке оси соленоида конечной длины l . Сравнить с результатом предыдущего примера.
Решение. Магнитное поле в торцевой точке оси соленоида конечной длины l дается тем же интегралом (6.19), но теперь пределы интегрирования будут выглядеть иначе
|
|
Отношение полей в средней и крайней точках оси соленоида равно
Это отношение всегда меньше единицы (то есть поле на торце меньше поля в середине соленоида). При l >> R имеем
Этот результат легко понять. Представим себе бесконечный соленоид, который мысленно рассекаем пополам в точке наблюдения. Можно считать, что поле в этой точке создается двумя одинаковыми «полубесконечными» соленоидами, расположенными по разные стороны от нее. Ясно, что при удалении одного из них точка наблюдения становится торцом оставшегося «полубесконечного» соленоида, а магнитная индукция в ней уменьшиться именно в два раза.
Это - так называемый краевой эффект. Пример демонстрирует, что недостаточно выполнения соотношения l >> R , чтобы пользоваться формулами для бесконечно длинного соленоида; надо еще, чтобы точка наблюдения находилась далеко от его концов.
На рис. 6.25 представлен опыт по исследованию распределения силовых линий магнитного поля вокруг соленоида. Поле соленоида, ось которого лежит в плоскости пластинки, сосредоточено в основном внутри соленоида. Силовые линии внутри имеют вид параллельных прямых вдоль оси катушки, а поле снаружи практически отсутствует.
Рис. 6.25. Визуализация силовых линий магнитного поля
, (7)
С другой стороны единица магнитной индукции (тесла) может быть установлена по формуле (5):
[
В
]
= , (8)
Перемножив выражения (7) и (8), получим:
[
В
]
2
= 
×
= 
= 
, (9)
Тогда заменив единицы измерения в выражении (9) физическими величинами, получим формулу для индукции поля соленоида, созданного переменным током:
В 2
= ,
отсюда В
= , (10)
где
V
- объём соленоида,
Р
– мощность переменного тока.
Таким образом, индукция магнитного поля соленоида увеличивается при увеличении мощности переменного тока и уменьшается при увеличении объёма соленоида.
Задача 1. Магнитная индукция поля внутри соленоида, состоящего из 2000 витков диаметра 2,8см, подключённого к источнику переменного тока с частотой 50Гц, равна 0,72мТл. Каково индуцированное в соленоиде напряжение?
| Дано: | СИ: | Решение: |
| N = 2000 витков d = 2,8 см В = 0,72 мТл n = 50 Гц | = 2,8 × 10 -2 м =0,72 × 10 -3 Тл | Индукция поля соленоида определяется формулой:
В
= , (1)
Учитывая, что
S
= , (2)
и, используя выражения (1) и (2), найдём
 . (3)
|
| U – ? | ||
| Подставляя исходные данные в выражение (3), получим: = 0,278 В. | ||
| Ответ: U = 0,278 В. | ||
| Дано: | СИ: | Решение: |
| U = 0,2 В d = 2,8 см В = 0,52 мТл n = 50 Гц | = 2,8 × 10 -2 м =0,52 × 10 -3 Тл | Индукция поля соленоида выражается формулой:
В
= , (1)
Учитывая, что
S
= , (2)
и, используя выражения (1) и (2), получим
 . (3)
|
| N – ? | ||
| Подставляя исходные данные в выражение (3), получим: витков | ||
| Ответ: N = 2000 витков. | ||
| Дано: | СИ: | Решение: |
| B = 0,72 мТл n = 50 Гц µ о =1,256 × 10 -6 V = 6,15 × 10 -5 м 3 N = 400 витков | =0,72 × 10 -3 Тл | Индукция поля соленоида определяется по формуле (10):
В
= , отсюда
Р
= .
Подставляя исходные данные, получим: 
|
| P – ? | ||
| » 3,2 мкВт. Ответ: Р » 3,2 мкВт. | ||
Для создания магнитного поля в технике используется соленоид – цилиндрическая катушка, состоящая из большого числа витков, равномерно намотанных на общий сердечник (рис. 4.5).
Рассмотрим соленоид длиной L , имеющий N витков, по которому течет ток I . Длину соленоида считаем во много раз большей диаметров его витков. Магнитное поле такого соленоида целиком сосредоточено внутри него и однородно. Снаружи соленоида поле мало и его практически можно считать равным нулю.
Величину индукции магнитного поля соленоида можно найти, складывая магнитные индукции полей, создаваемых каждым витком соленоида. Так как витки соленоида намотаны вплотную друг к другу, на длине dx сосредоточено витков. Суммарный ток, протекающий по кольцу, толщиной dx , равен . В точке, находящейся на оси соленоида каждое такое кольцо создает магнитное поле, согласно (4.7), равное:
.
Суммарное поле:
(4.9)
При интегрировании соленоид считаем бесконечным. Как видно из (4.9) магнитное поле соленоида зависит от плотности намотки – числа витков на единицу длины соленоида .
Магнитный поток
Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS
называется скалярная физическая величина, равная:
dФ = В n dS = Bcos α × dS , (4.10)
где В n – проекция вектора В на направление, перпендикулярное к площадке dS ; α – угол между вектором нормали n и вектором В .
Положительное направление нормали связано правилом правого винта с током, текущим по контуру, ограничивающему площадку dS . Магнитный поток Ф через произвольную поверхность S можно представить в виде:
Действие магнитного поля на заряды
На электрический заряд q , движущийся в магнитном поле с индукцией В со скоростью V , действует сила Лоренца:
. (4.12)
Абсолютная величина магнитной силы:
F = qvB Sin α ,
где α
– угол между векторами V
и В
.
По правилу векторного произведения магнитная сила F перпендикулярна плоскости, в которой лежат вектора V и B .
Если q >0, магнитная сила F совпадает с направлением векторного произведения [V,B ], если q <0, то противоположно.
Для положительного заряда, движущегося в магнитном поле, как показано на рисунке 4.6, сила F направлена вдоль отрицательного направления оси Z . Продольная компонента скорости V ll под действием магнитного поля изменяться не будет и движение заряженной частицы вдоль оси Х – равномерное. Результирующее движение частицы – по винтовой линии (рис.4.6). Спираль может быть как правой, так и левой в зависимости от знака заряда q .
Радиус спирали R найдем из условия, что при равномерном движении частицы по окружности сила F является центростремительной силой:
,
где m – масса заряженной частицы. Отсюда:
.
Время, за которое частица совершит полный оборот (период):
. (4.13)
Из формулы (4.13) следует, что период обращения частицы не зависит от ее скорости. Однако надо помнить, что этот вывод справедлив только при условии V <<c , где: с – скорость света.
Если движение частицы происходит как в магнитном поле с индукцией B , так и в электрическом поле с напряженностью Е , то на нее действует обобщенная сила Лоренца:
. (4.14)
Электромагнитная индукция
Если поток магнитной индукции сквозь контур изменяется со временем, то, согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, в контуре возникает ЭДС индукции:
E = – , (4.15)
Знак (–) означает: индукционный ток всегда имеет такое направление, что создаваемое им магнитное поле стремиться скомпенсировать то изменение магнитного потока, которым вызван данный индукционный ток (правило Ленца).
Ток в замкнутом контуре создает в окружающем пространстве магнитное поле, индукция которого пропорциональна току: В ~ I. Поэтому сцепленный с контуром магнитный поток пропорционален силе тока в контуре I:
Ф = LI ,
гдеL – коэффициент пропорциональности называют коэффициентом самоиндукции или индуктивностью контура.
Если по контуру протекает изменяющийся со временем ток I(t)
, то изменяется магнитный поток, пронизывающий контур. В контуре возникает ЭДС самоиндукции:
Индуктивность контура L в общем случае зависит от геометрии контура и магнитной проницаемости среды µ. Если эти величины не изменяются, то L = const . Т.е., если контур жесткий и поблизости нет ферромагнетиков, то L = const .
Рассмотрим два контура 1 и 2, расположенных на некотором расстоянии друг от друга (рис. 4.7). Если по контуру 1 пропустить ток I 1 , то он создает поток магнитной индукции через контур 2:
Ф 21 = L 21 I 1 . (4.17)
Коэффициент пропорциональности L 21 называют коэффициентом взаимной индукции контуров (взаимная индуктивность контуров). Он зависит от формы и взаимного расположения контуров 1 и 2, а также от магнитных свойств окружающей среды.
При изменении силы тока в первом контуре магнитный поток сквозь второй контур изменяется; следовательно, в нем наводится ЭДС взаимной индукции:
.
(4.18)
Формула справедлива в отсутствие ферромагнетиков.
Если поменять местами контуры 1 и 2 и повторить все предыдущие рассуждения, то получим:
. (4.19)
Коэффициенты взаимной индукции равны.
Соленоидом называют катушку цилиндрической формы из проволоки, витки которой намотаны в одном направлении (рис. 223). Магнитное поле соленоида представляет собой результат сложения полей, создаваемых несколькими круговыми токами, расположенными рядом и имеющими общую ось.
На рис. 223 показаны четыре витка соленоида с током Для наглядности полувитки, расположенные за плоскостью листа, изображены прерывистыми линиями. На этом рисунке видно, что внутри соленоида силовые линии каждого отдельного витка имеют одинаковое направление, тогда как между соседними витками они имеют противоположные направления Поэтому при достаточно плотной намотке соленоида противоположно направленные участки силовых линий соседних витков взаимно
уничтожатся, а одинаково направленные участки сольются в общую замкнутую силовую линию, проходящую внутри всего соленоида и охватывающую его снаружи.
Детальное изучение магнитного поля длинного соленоида, проведенное с помощью железных опилок, показывает, что это поле имеет вид, изображенный на рис. 224. Внутри соленоида поле оказывается практически однородным, вне соленоида - неоднородным и сравнительно слабым (густота силовых линий здесь весьма мала).
Внешнее поле соленоида подобно полю стержневого магнита (см. рис. 212). Как и магнит, соленоид имеет северный С и южный полюсы и нейтральную зону.
Напряженность магнитного поля внутри длинного соленоида рассчитывается по формуле
где I - длина соленоида, число его витков, сила тока в нем. Произведение принято называть числом ампер-витков
Формула (18) является частным случаем выражения напряженности поля внутри соленоида конечной длины, которое в свою очередь выводится следующим образом.
На рис. 225 изображен продольный разрез соленоида вертикальной плоскостью, проходящей через его ось. Длина соленоида I, радиус его витков число витков сила тока, идущего по соленоиду,
Рассматривая соленоид как совокупность вплотную приложенных друг к другу витков (круговых токов имеющих общую ось, определим напряженность магнитного поля в точке А на оси соленоида как сумму напряженностей от всех его витков. Для этого выделим малый участок длины соленоида.
В нем содержится витков. Согласно формуле (17), напряженность поля одного витка Поэтому напряженность поля от участка будет равна
Из рис. 225 видно, что Тогда Подставляя эти выражения в
формулу (19) и производя сокращения, получим
Интегрируя последнее выражение в пределах от до найдем полную напряженность поля в точке А:
Магнитное поле возникает вокруг любого проводника независимо от его формы при условии, что по проводнику проходит электрический ток.
В электротехнике мы имеем дело с различного рода катушками, состоящими из ряда витков. Для изучения интересующего нас магнитного поля катушки рассмотрим сначала, какую форму имеет магнитное поле одного витка.
Представим себе виток толстого провода, пронизывающий лист картона и присоединенный к источнику тока. Когда через виток проходит электрический ток, то вокруг каждой отдельной части витка образуется круговое магнитное поле. По правилу «буравчика» нетрудно определить, что магнитные силовые линии внутри витка имеют одинаковое направление (к нам или от нас, в зависимости от направления тока в витке), причем они выходят с одной стороны витка и входят в другую сторону. Ряд таких витков, имеющий форму спирали, представляет собой так называемый соленоид (катушку) .
Вокруг соленоида, при прохождении через него тока, образуется магнитное поле. Оно получается в результате сложения магнитных полей каждого витка и по форме напоминает магнитное поле прямолинейного магнита. Силовые линии магнитного поля соленоида, так же как и в прямолинейном магните, выходят из одного конца соленоида и возвращаются в другой. Внутри соленоида они имеют одинаковое направление. Таким образом, концы соленоида обладают полярностью. Тот конец, из которого выходят силовые линии, является северным полюсом соленоида, а конец, в который силовые линии входят, - его южным полюсом.
Полюса соленоида можно определить по правилу правой руки , но для этого надо знать направление тока в его витках. Если наложить на соленоид правую руку ладонью вниз, так чтобы ток как бы выходил из пальцев, то отогнутый большой палец укажет на северный полюс соленоида . Из этого правила следует, что полярность соленоида зависит от направления тока в нем. В этом нетрудно убедиться практически, поднеся к одному из полюсов соленоида магнитную стрелку и затем изменив направление тока в соленоиде. Стрелка моментально повернется на 180°, т. е. укажет на то, что полюсы соленоида изменились.
Соленоид обладает свойством втягивать в себя легкие железные предметы. Если внутрь соленоида поместить стальной брусок, то через некоторое время под действием магнитного поля соленоида брусок намагнитится. Этот способ применяют при изготовлении постоянных магнитов.
Электромагниты
Электромагнит представляет собой катушку (соленоид) с помещенным внутрь нее железнымсердечником. Формы и размеры электромагнитов разнообразны, однако общее устройство всех их одинаково.
Катушка электромагнита представляет собой каркас, изготовленный чаще всего из прессшпана или фибры и имеющий различные формы в зависимости от назначения электромагнита. На каркас намотана в несколько слоев медная изолированная проволока - обмотка электромагнита. Она имеет различночисло витков и изготовляется из проволоки различного диаметра, в зависимости от назначения электромагнита.
Для предохранения изоляции обмотки от механических повреждений обмотку покрывают одним или несколькими слоями бумаги или каким-либо другим изолирующим материалом. Начало и конец обмотки выводят наружу и присоединяют к выводным клеммам, укрепленным на каркасе, или к гибким проводникам с наконечниками на концах.
Катушка электромагнита насажена на сердечник из мягкого, отожженного железа или сплавов железа с кремнием, никелем и т. д. Такое железо обладает наименьшим остаточным магнетизмом. Сердечники чаще всего делают составными из тонких листов, изолированных друг от друга. Формы сердечников могут быть различными, в зависимости от назначения электромагнита.
Если по обмотке электромагнита пропустить электрический ток, то вокруг обмотки образуется магнитное поле, которое намагничивает сердечник. Так как сердечник сделан из мягкого железа; то он намагнитится мгновенно. Если затем выключить ток, то магнитные свойства сердечника также быстро исчезнут, и он перестанет быть магнитом. Полюсы электромагнита, как и соленоида, определяются по правилу правой руки. Если в обмотке электромагнита изменить направление тока, то в соответствии с этим изменится и полярность электромагнита.
Действие электромагнита подобно действию постоянного магнита. Однако между ними есть большая разница. Постоянный магнит всегда обладает магнитными свойствами, а электромагнит- только тогда, когда по его обмотке проходит электрический ток.
Кроме того, сила притяжения постоянного магнита неизменна, так как неизменен магнитный поток постоянного магнита. Сила же притяжения электромагнита не является величиной постоянной. Один и тот же электромагнитможет обладать различной силой притяжения. Сила притяжения всякого магнита зависит от величины его магнитного потока.
Сила притяжения электромагнита, а следовательно, и его магнитный поток зависят от величины тока, проходящего через обмотку этого электромагнита. Чем больше ток, тем больше сила притяжения электромагнита, и, наоборот, чем меньше ток в обмотке электромагнита, тем с меньшей силой он притягивает к себе магнитные тела.
Но для различных по своему устройству и размерам электромагнитов сила их притяжения зависит не только от величины тока в обмотке. Если, например, взять два электромагнита одинакового устройства и размеров, но один с небольшим числом витков обмотки, а другой - с гораздо большим, то нетрудно убедиться, что при одном и том же токе сила притяжения последнего будет гораздо больше. Действительно, чем больше число витков обмотки, тем большее при данном токе создается вокруг этой обмотки магнитное поле, так как оно слагается из магнитных полей каждого витка. Значит, магнитный поток электромагнита, а следовательно, и сила его притяжения будут тем больше, чем большее количество витков имеет обмотка.
Есть еще одна причина, влияющая на величину магнитного потока электромагнита. Это - качество его магнитной цепи. Магнитной цепью называется путь, по которому замыкается магнитный поток. Магнитная цепь обладает определенным магнитным сопротивлением . Магнитное сопротивление зависит от магнитной проницаемости среды, через которую проходит магнитный поток. Чем больше магнитная проницаемость этой среды, тем меньше ее магнитное сопротивление.
Так как магнитная проницаемость ферромагнитных тел (железа, стали) во много раз больше магнитной проницаемости воздуха, поэтому выгоднее делать электромагниты так, чтобы их магнитная цепь не содержала в себе воздушных участков. Произведение силы тока на число витков обмотки электромагнита называется магнитодвижущей силой . Магнитодвижущая сила измеряется числом ампер-витков.
Например, по обмотке электромагнита, имеющего 1200 витков, проходит ток силой 50 ма. Магнитодвижущая сила такого электромагнита равна 0,05 х 1200 = 60 ампер-витков.
Действие магнитодвижущей силы аналогично действию электродвижущей силы в электрической цепи. Подобно тому как ЭДС является причиной возникновения электрического тока, магнитодвижущая сила создает магнитный поток в электромагните. Точно так же, как в электрической цепи с увеличением ЭДС увеличивается ток в цени, так и в магнитной цепи с увеличением магнитодвижущей силы увеличивается магнитный поток.
Действие магнитного сопротивления аналогично действию электрического сопротивления цепи. Как с увеличением сопротивления электрической цепи уменьшается ток, так и в магнитной цепи увеличение магнитного сопротивления вызывает уменьшение магнитного потока.
Зависимость магнитного потока электромагнита от магнитодвижущей силы и его магнитного сопротивления можно выразить формулой, аналогичной формуле закона Ома: магнитодвижущая сила = (магнитный поток/ магнитное сопротивление)
