Чему равно расстояние между точками. Определение расстояние между двумя точками только по координатам longlat
Пусть задана прямоугольная система координат.
Теорема 1.1. Для любых двух точек М 1 (х 1 ;у 1) и М 2 (х 2 ;у 2) плоскости расстояние d между ними выражается формулой
Доказательство. Опустим из точек М 1 и М 2 перпендикуляры М 1 В и М 2 А соответственно
на оси Оу и Ох и обозначим через К точку пересечения прямых М 1 В и М 2 А (рис. 1.4). Возможны следующие случаи:
1)Точки М 1 , М 2 и К различны. Очевидно, что точка К имеет координаты (х 2 ;у 1). Нетрудно заметить что М 1 К = ôх 2 – х 1 ô, М 2 К = ôу 2 – у 1 ô. Т.к. ∆М 1 КМ 2 прямоугольный, то по теореме Пифагора d = М 1 М 2 = = .
2) Точка К совпадает с точкой М 2 , но отлична от точки М 1 (рис. 1.5). В этом случае у 2 = у 1
и d = М 1 М 2 = М 1 К = ôх 2 – х 1 ô= =
3) Точка К совпадает с точкой М 1 , но отлична от точки М 2 . В этом случае х 2 = х 1 и d =
М 1 М 2 = КМ 2 = ôу 2 - у 1 ô= = .
4) Точка М 2 совпадает с точкой М 1 . Тогда х 1 = х 2 , у 1 = у 2 и
d = М 1 М 2 = О = .
Деление отрезка в данном отношении.
Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М 1 М 2 и пусть М ─ любая точка этого
отрезка, отличная от точки М 2 (рис. 1.6). Число l, определяемое равенством l = , называется отношением, в котором точка М делит отрезок М 1 М 2 .
Теорема 1.2. Если точка М(х;у) делит отрезок М 1 М 2 в отношении l, то координаты этой определяются формулами
х = , у = , (4)
где (х 1 ;у 1) ─ координаты точки М 1 , (х 2 ;у 2) ─ координаты точки М 2 .
Доказательство. Докажем первую из формул (4). Вторая формула доказывается аналогично. Возможны два случая.
х = х 1 = = = .
2) Прямая М 1 М 2 не перпендикулярна оси Ох (рис. 1.6). Опустим перпендикуляры из точек М 1 , М, М 2 на ось Ох и обозначим точки их пересечения с осью Ох соответственно Р 1 , Р, Р 2 . По теореме о пропорциональных отрезках = l.
Т.к. Р 1 Р = ôх – х 1 ô, РР 2 = ôх 2 – хô и числа (х – х 1) и (х 2 – х) имеют один и тот же знак (при х 1 < х 2 они положительны, а при х 1 > х 2 отрицательны), то
l = = ,
х – х 1 = l(х 2 – х), х + lх = х 1 + lх 2 ,
х = .
Следствие 1.2.1. Если М 1 (х 1 ;у 1) и М 2 (х 2 ;у 2) ─ две произвольные точки и точка М(х;у) ─ середина отрезка М 1 М 2 , то
х = , у = (5)
Доказательство. Так как М 1 М = М 2 М, то l = 1 и по формулам (4) получаем формулы (5).
Площадь треугольника.
Теорема 1.3. Для любых точек А(х 1 ;у 1), В(х 2 ;у 2) и С(х 3 ;у 3), не лежащих на одной
прямой, площадь S треугольника АВС выражается формулой
S = ô(х 2 – х 1)(у 3 – у 1) – (х 3 – х 1)(у 2 – у 1)ô (6)
Доказательство. Площадь ∆ АВС, изображённого на рис. 1.7, вычисляем следующим
S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .
Вычисляем площади трапеций:
S ADEC =
,
S BCEF =
S ABFD =
Теперь имеем
S ABC = ((х 3 – х 1)(у 3 + у 1) + (х 3 – х 2)(у 3 + у 2) - (х 2 – -х 1)(у 1 + у 2)) = (х 3 у 3 – х 1 у 3 + х 3 у 1 – х 1 у 1 + + х 2 у 3 – -х 3 у 3 + х 2 у 2 – х 3 у 2 – х 2 у 1 + х 1 у 1 – х 2 у 2 + х 1 у 2) = (х 3 у 1 – х 3 у 2 + х 1 у 2 – х 2 у 1 + х 2 у 3 –
Х 1 у 3) = (х 3 (у 1 – у 2) + х 1 у 2 – х 1 у 1 + х 1 у 1 – х 2 у 1 + у 3 (х 2 – х 1)) = (х 1 (у 2 – у 1) – х 3 (у 2 – у 1) + +у 1 (х 1 – х 2) – у 3 (х 1 – х 2)) = ((х 1 – х 3)(у 2 – у 1) + (х 1 – х 2)(у 1 – у 3)) = ((х 2 – х 1)(у 3 – у 1) –
- (х 3 – х 1)(у 2 – у 1)).
Для другого расположения ∆ АВС формула (6) доказывается аналогично, но может получиться со знаком «-». Поэтому в формуле (6) ставят знак модуля.
Лекция 2.
Уравнение прямой линии на плоскости: уравнение прямой с главным коэффициентом, общее уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой, проходящей через две точки. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
2.1. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат и некоторая линия L.
Определение 2.1. Уравнение вида F(x;y) = 0, связывающее переменные величины x и y, называется уравнение линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой прямой.
Примеры уравнений линий на плоскости.
1) Рассмотрим прямую, параллельную оси Oy прямоугольной системы координат (рис. 2.1). Обозначим буквой A точку пересечения этой прямой с осью Ox, (a;o) ─ её ор-
динаты. Уравнение x = a является уравнением данной прямой. Действительно, этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки M(a;y) этой прямой и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на прямой. Если a = 0, то прямая совпадает с осью Oy, которая имеет уравнение x = 0.
2) Уравнение x - y = 0 определяет множество точек плоскости, составляющих биссектрисы I и III координатных углов.
3) Уравнение x 2 - y 2 = 0 ─ это уравнение двух биссектрис координатных углов.
4) Уравнение x 2 + y 2 = 0 определяет на плоскости единственную точку O(0;0).
5) Уравнение x 2 + y 2 = 25 ─ уравнение окружности радиуса 5 с центром в начале координат.
Решение задач по математике у учащихся часто сопровождается многими трудностями. Помочь учащемуся справиться с этими трудности, а так же научить применять имеющиеся у него теоретические знания при решении конкретных задач по всем разделам курса предмета «Математика» – основное назначение нашего сайта.
Приступая к решению задач по теме , учащиеся должны уметь строить точку на плоскости по ее координатам, а так же находить координаты заданной точки.
Вычисление расстояния между взятыми на плоскости двумя точками А(х А; у А) и В(х В; у В), выполняется по формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) , где d – длина отрезка, который соединяет эти точки на плоскости.
Если один из концов отрезка совпадает с началом координат, а другой имеет координаты М(х М; у М), то формула для вычисления d примет вид ОМ = √(х М 2 + у М 2).
1. Вычисление расстояния между двумя точками по данным координатам этих точек
Пример 1 .
Найти длину отрезка, который соединяет на координатной плоскости точки А(2; -5) и В(-4; 3) (рис. 1).
Решение.
В условии задачи дано: х А = 2; х В = -4; у А = -5 и у В = 3. Найти d.
Применив формулу d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2), получим:
d = АВ = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.
2. Вычисление координат точки, которая равноудалена от трех заданных точек
Пример 2.
Найти координаты точки О 1 , которая равноудалена от трех точек А(7; -1) и В(-2; 2) и С(-1; -5).
Решение.
Из формулировки условия задачи следует, что О 1 А = О 1 В = О 1 С. Пусть искомая точка О 1 имеет координаты (а; b). По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) найдем:
О 1 А = √((а – 7) 2 + (b + 1) 2);
О 1 В = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2);
О 1 С = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).
Составим систему из двух уравнений:
{√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2),
{√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).
После возведения в квадрат левой и правой частей уравнений запишем:
{(а – 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 2) 2 + (b – 2) 2 ,
{(а – 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 1) 2 + (b + 5) 2 .
Упростив, запишем
{-3а + b + 7 = 0,
{-2а – b + 3 = 0.
Решив систему, получим: а = 2; b = -1.
Точка О 1 (2; -1) равноудалена от трех заданных в условии точек, которые не лежат на одной прямой. Эта точка – есть центр окружности, проходящей через три заданные точки (рис. 2) .
3. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на заданном расстоянии от данной точки
Пример 3.
Расстояние от точки В(-5; 6) до точки А, лежащей на оси Ох равно 10. Найти точку А.
Решение.
Из формулировки условия задачи следует, что ордината точки А равна нулю и АВ = 10.
Обозначив абсциссу точки А через а, запишем А(а; 0).
АВ = √((а + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((а + 5) 2 + 36).
Получаем уравнение √((а + 5) 2 + 36) = 10. Упростив его, имеем
а 2 + 10а – 39 = 0.
Корни этого уравнения а 1 = -13; а 2 = 3.
Получаем две точки А 1 (-13; 0) и А 2 (3; 0).
Проверка:
А 1 В = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
А 2 В = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
Обе полученные точки подходят по условию задачи (рис. 3).
4. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на одинаковом расстоянии от двух заданных точек
Пример 4.
Найти на оси Оу точку, которая находится на одинаковом расстоянии от точек А(6; 12) и В(-8; 10).
Решение.
Пусть координаты нужной по условию задачи точки, лежащей на оси Оу, будут О 1 (0; b) (у точки, лежащей на оси Оу, абсцисса равна нулю). Из условия следует, что О 1 А = О 1 В.
По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) находим:
О 1 А = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);
О 1 В = √((а + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).
Имеем уравнение √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) или 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 .
После упрощения получим: b – 4 = 0, b = 4.
Необходимая по условию задачи точка О 1 (0; 4) (рис. 4).
5. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом расстоянии от осей координат и некоторой заданной точки
Пример 5.
Найти точку М, расположенную на координатной плоскости на одинаковом расстоянии от осей координат и от точки А(-2; 1).
Решение.
Необходимая точка М, как и точка А(-2; 1), располагается во втором координатном углу, так как она равноудалена от точек А, Р 1 и Р 2 (рис. 5) . Расстояния точки М от осей координат одинаковые, следовательно, ее координатами будут (-a; a), где а > 0.
Из условия задачи следует, что МА = МР 1 = МР 2 , МР 1 = а; МР 2 = |-a|,
т.е. |-a| = а.
По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) находим:
МА = √((-а + 2) 2 + (а – 1) 2).
Составим уравнение:
√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.
После возведения в квадрат и упрощения имеем: а 2 – 6а + 5 = 0. Решим уравнение, найдем а 1 = 1; а 2 = 5.
Получаем две точки М 1 (-1; 1) и М 2 (-5; 5), удовлетворяющие условию задачи.
6. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом заданном расстоянии от оси абсцисс (ординат) и от данной точки
Пример 6.
Найти точку М такую, что расстояние ее от оси ординат и от точки А(8; 6) будет равно 5.
Решение.
Из условия задачи следует, что МА = 5 и абсцисса точки М равна 5. Пусть ордината точки М равна b, тогда М(5; b) (рис. 6).
По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) имеем:
МА = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).
Составим уравнение:
√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Упростив его, получим: b 2 – 12b + 20 = 0. Корни этого уравнения b 1 = 2; b 2 = 10. Следовательно, есть две точки, удовлетворяющие условию задачи: М 1 (5; 2) и М 2 (5; 10).
Известно, что многие учащиеся при самостоятельном решении задач нуждаются в постоянных консультациях по приемам и методам их решения. Зачастую, найти путь к решению задачи без помощи преподавателя учащемуся не под силу. Необходимые консультации по решению задач учащийся и может получить на нашем сайте.
Остались вопросы? Не знаете, как найти расстояние между двумя точками на плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1
Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.
Исходные данные: координатная прямая O x и лежащая на ней произвольная точка А. Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число х A , оно же – координата точки А.
В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.
Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой О А отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка O A по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.
К примеру, точке А соответствует число 3 – чтобы попасть в нее из точки О, необходимо будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату - 4 – единичные отрезки откладываются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом в первом случае, расстояние О А равно 3 ; во втором случае О А = 4 .
Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О) мы откладываем целое число единичных отрезков, а затем его необходимую часть. Но геометрически не всегда возможно произвести измерение. К примеру, затруднительным представляется отложить на координатной прямой дробь 4 111 .
Вышеуказанным способом отложить на прямой иррациональное число и вовсе невозможно. К примеру, когда координата точки А равна 11 . В таком случае возможно обратиться к абстракции: если заданная координата точки А больше нуля, то O A = x A (число принимается за расстояние); если координата меньше нуля, то O A = - x A . В общем, эти утверждения справедливы для любого действительного числа x A .
Резюмируя: расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует действительное число на координатной прямой, равно:
- 0, если точка совпадает с началом координат;
- x A , если x A > 0 ;
- - x A , если x A < 0 .
При этом очевидно, что сама длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому, используя знак модуля, запишем расстояние от точки O до точки A с координатой x A : O A = x A
Верным будет утверждение: расстояние от одной точки до другой будет равно модулю разности координат. Т.е. для точек A и B , лежащих на одной координатной прямой при любом их расположении и имеющих соответственно координаты x A и x B: A B = x B - x A .
Исходные данные: точки A и B , лежащие на плоскости в прямоугольной системе координат O x y с заданными координатами: A (x A , y A) и B (x B , y B) .
Проведем через точки А и B перпендикуляры к осям координат O x и O y и получим в результате точки проекции: A x , A y , B x , B y . Исходя из расположения точек А и B далее возможны следующие варианты:
Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю;
Если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси O x (оси абсцисс), то точки и совпадают, а | А В | = | А y B y | . Поскольку, расстояние между точками равно модулю разности их координат, то A y B y = y B - y A , а, следовательно A B = A y B y = y B - y A .
Если точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси O y (оси ординат) – по аналогии с предыдущим пунктом: A B = A x B x = x B - x A
Если точки A и B не лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, найдем расстояние между ними, выведя формулу расчета:
Мы видим, что треугольник А В С является прямоугольным по построению. При этом A C = A x B x и B C = A y B y . Используя теорему Пифагора, составим равенство: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , а затем преобразуем его: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2
Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчётом по формуле с использованием координат этих точек
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2
Полученная формула также подтверждает ранее сформированные утверждения для случаев совпадения точек или ситуаций, когда точки лежат на прямых, перпендикулярных осям. Так, для случая совпадения точек A и B будет верно равенство: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0
Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс:
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A
Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат:
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A
Исходные данные: прямоугольная система координат O x y z с лежащими на ней произвольными точками с заданными координатами A (x A , y A , z A) и B (x B , y B , z B) . Необходимо определить расстояние между этими точками.
Рассмотрим общий случай, когда точки A и B не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки A и B плоскости, перпендикулярные координатным осям, и получим соответствующие точки проекций: A x , A y , A z , B x , B y , B z
Расстояние между точками A и B являет собой диагональ полученного в результате построения параллелепипеда. Согласно построению измерения этого параллелепипеда: A x B x , A y B y и A z B z
Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2
Используя полученные ранее выводы, запишем следующее:
A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A
Преобразуем выражение:
A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2
Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом:
A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2
Полученная формула действительна также для случаев, когда:
Точки совпадают;
Лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.
Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками
Пример 1Исходные данные: задана координатная прямая и точки, лежащие на ней с заданными координатами A (1 - 2) и B (11 + 2) . Необходимо найти расстояние от точки начала отсчета O до точки A и между точками A и B .
Решение
- Расстояние от точки начала отсчета до точки равно модулю координаты этой точки, соответственно O A = 1 - 2 = 2 - 1
- Расстояние между точками A и B определим как модуль разности координат этих точек: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2
Ответ: O A = 2 - 1 , A B = 10 + 2 2
Пример 2
Исходные данные: задана прямоугольная система координат и две точки, лежащие на ней A (1 , - 1) и B (λ + 1 , 3) . λ – некоторое действительное число. Необходимо найти все значения этого числа, при которых расстояние А В будет равно 5 .
Решение
Чтобы найти расстояние между точками A и B , необходимо использовать формулу A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2
Подставив реальные значения координат, получим: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16
А также используем имеющееся условие, что А В = 5 и тогда будет верным равенство:
λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3
Ответ: А В = 5 , если λ = ± 3 .
Пример 3
Исходные данные: задано трехмерное пространство в прямоугольной системе координат O x y z и лежащие в нем точки A (1 , 2 , 3) и B - 7 , - 2 , 4 .
Решение
Для решения задачи используем формулу A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2
Подставив реальные значения, получим: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9
Ответ: | А В | = 9
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Решение задач по математике у учащихся часто сопровождается многими трудностями. Помочь учащемуся справиться с этими трудности, а так же научить применять имеющиеся у него теоретические знания при решении конкретных задач по всем разделам курса предмета «Математика» – основное назначение нашего сайта.
Приступая к решению задач по теме , учащиеся должны уметь строить точку на плоскости по ее координатам, а так же находить координаты заданной точки.
Вычисление расстояния между взятыми на плоскости двумя точками А(х А; у А) и В(х В; у В), выполняется по формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) , где d – длина отрезка, который соединяет эти точки на плоскости.
Если один из концов отрезка совпадает с началом координат, а другой имеет координаты М(х М; у М), то формула для вычисления d примет вид ОМ = √(х М 2 + у М 2).
1. Вычисление расстояния между двумя точками по данным координатам этих точек
Пример 1 .
Найти длину отрезка, который соединяет на координатной плоскости точки А(2; -5) и В(-4; 3) (рис. 1).
Решение.
В условии задачи дано: х А = 2; х В = -4; у А = -5 и у В = 3. Найти d.
Применив формулу d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2), получим:
d = АВ = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.
2. Вычисление координат точки, которая равноудалена от трех заданных точек
Пример 2.
Найти координаты точки О 1 , которая равноудалена от трех точек А(7; -1) и В(-2; 2) и С(-1; -5).
Решение.
Из формулировки условия задачи следует, что О 1 А = О 1 В = О 1 С. Пусть искомая точка О 1 имеет координаты (а; b). По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) найдем:
О 1 А = √((а – 7) 2 + (b + 1) 2);
О 1 В = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2);
О 1 С = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).
Составим систему из двух уравнений:
{√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2),
{√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).
После возведения в квадрат левой и правой частей уравнений запишем:
{(а – 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 2) 2 + (b – 2) 2 ,
{(а – 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 1) 2 + (b + 5) 2 .
Упростив, запишем
{-3а + b + 7 = 0,
{-2а – b + 3 = 0.
Решив систему, получим: а = 2; b = -1.
Точка О 1 (2; -1) равноудалена от трех заданных в условии точек, которые не лежат на одной прямой. Эта точка – есть центр окружности, проходящей через три заданные точки (рис. 2) .
3. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на заданном расстоянии от данной точки
Пример 3.
Расстояние от точки В(-5; 6) до точки А, лежащей на оси Ох равно 10. Найти точку А.
Решение.
Из формулировки условия задачи следует, что ордината точки А равна нулю и АВ = 10.
Обозначив абсциссу точки А через а, запишем А(а; 0).
АВ = √((а + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((а + 5) 2 + 36).
Получаем уравнение √((а + 5) 2 + 36) = 10. Упростив его, имеем
а 2 + 10а – 39 = 0.
Корни этого уравнения а 1 = -13; а 2 = 3.
Получаем две точки А 1 (-13; 0) и А 2 (3; 0).
Проверка:
А 1 В = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
А 2 В = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
Обе полученные точки подходят по условию задачи (рис. 3).
4. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на одинаковом расстоянии от двух заданных точек
Пример 4.
Найти на оси Оу точку, которая находится на одинаковом расстоянии от точек А(6; 12) и В(-8; 10).
Решение.
Пусть координаты нужной по условию задачи точки, лежащей на оси Оу, будут О 1 (0; b) (у точки, лежащей на оси Оу, абсцисса равна нулю). Из условия следует, что О 1 А = О 1 В.
По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) находим:
О 1 А = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);
О 1 В = √((а + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).
Имеем уравнение √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) или 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 .
После упрощения получим: b – 4 = 0, b = 4.
Необходимая по условию задачи точка О 1 (0; 4) (рис. 4).
5. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом расстоянии от осей координат и некоторой заданной точки
Пример 5.
Найти точку М, расположенную на координатной плоскости на одинаковом расстоянии от осей координат и от точки А(-2; 1).
Решение.
Необходимая точка М, как и точка А(-2; 1), располагается во втором координатном углу, так как она равноудалена от точек А, Р 1 и Р 2 (рис. 5) . Расстояния точки М от осей координат одинаковые, следовательно, ее координатами будут (-a; a), где а > 0.
Из условия задачи следует, что МА = МР 1 = МР 2 , МР 1 = а; МР 2 = |-a|,
т.е. |-a| = а.
По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) находим:
МА = √((-а + 2) 2 + (а – 1) 2).
Составим уравнение:
√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.
После возведения в квадрат и упрощения имеем: а 2 – 6а + 5 = 0. Решим уравнение, найдем а 1 = 1; а 2 = 5.
Получаем две точки М 1 (-1; 1) и М 2 (-5; 5), удовлетворяющие условию задачи.
6. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом заданном расстоянии от оси абсцисс (ординат) и от данной точки
Пример 6.
Найти точку М такую, что расстояние ее от оси ординат и от точки А(8; 6) будет равно 5.
Решение.
Из условия задачи следует, что МА = 5 и абсцисса точки М равна 5. Пусть ордината точки М равна b, тогда М(5; b) (рис. 6).
По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) имеем:
МА = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).
Составим уравнение:
√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Упростив его, получим: b 2 – 12b + 20 = 0. Корни этого уравнения b 1 = 2; b 2 = 10. Следовательно, есть две точки, удовлетворяющие условию задачи: М 1 (5; 2) и М 2 (5; 10).
Известно, что многие учащиеся при самостоятельном решении задач нуждаются в постоянных консультациях по приемам и методам их решения. Зачастую, найти путь к решению задачи без помощи преподавателя учащемуся не под силу. Необходимые консультации по решению задач учащийся и может получить на нашем сайте.
Остались вопросы? Не знаете, как найти расстояние между двумя точками на плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Расстояние между двумя точками плоскости.
Системы координат
Каждая точка А плоскости характеризуется своими координатами (х, у). Они совпадают с координатами вектора 0А , выходящего из точки 0 - начала координат.
Пусть А и В - произвольные точки плоскости с координатами (х 1 y 1) и (х 2 , у 2) соответственно.
Тогда вектор AB имеет, очевидно, координаты (х 2 - х 1 , y 2 - y 1). Известно, что квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат. Поэтому расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, определяется из условия
d 2 = (х 2 - х 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 .
d = \/ (х 2 - х 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2
Полученная формула позволяет находить расстояние между любыми двумя точками плоскости, если только известны координаты этих точек
Каждый раз, говоря о координатах той или иной точки плоскоси, мы имеем в виду вполне определенную систему координат х0у. А вообще-то систему координат на плоскости можно выбирать по-разному. Так, вместо системы координат х0у можно рассмотреть систему координат х"0у" , которая получается в результате поворота старых осей координат вокруг начальной точки 0 против часовой стрелки на угол α .
Если некоторая точка плоскости в системе координат х0у имела координаты (х, у), то в новой системе координат х"0у" она будет иметь уже другие координаты (х", у").
В качестве примера рассмотрим точку М, расположенную на оси 0х" и отстоящую от точки 0 на расстоянии, равном 1.
Очевидно, что в системе координат x0у эта точка имеет координаты (cos α , sin α ), а в системе координат х"0у" координаты (1,0).
Координаты любых двух точек плоскости А и В зависят от того, как в этой плоскости задана система координат. А вот расстояние между этими точками не зависит от способа задания системы координат. Это важное обстоятельство будет существенно использовано нами в следующем параграфе.
Упражнения
I. Найти расстояния между точками плоскости с координатами:
1) (3,5) и (3,4); 3) (0,5) и (5, 0); 5) (-3,4) и (9, -17);
2) (2, 1) и (- 5, 1); 4) (0, 7) и (3,3); 6) (8, 21) и (1, -3).
II. Найти периметр треугольника, стороны которого заданы уравнениями:
x + у - 1 = 0, 2x - у - 2 = 0 и у = 1.
III. В системе координат х0у точки М и N имеют координаты (1, 0) и (0,1) соответственно. Найти координаты этих точек в новой системе координат, которая получается и результате поворота старых осей вокруг начальной точки на угол в 30° против часовой стрелки.
IV. В системе координат х0у точки М и N имеют координаты (2, 0) и (\/ 3 / 2 , - 1 / 2) соответственно. Найти координаты этих точек в новой системе координат, которая получается в результате поворота старых осей вокруг начальной точки на угол в 30° по часовой стрелке.